四川省雅安年高二上学期期末考试数学（文）（解析版）
（考试时间：90分钟，满分：100分）
一、选择题（共5小题，每小题4分，满分20分）
1.若复数$z=34i$，则$z^2$的值为（）
A.$724i$B.$7+24i$C.$724i$D.$7+24i$
2.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(1)=2$，$f(1)=6$，则$f(x)$的图像可能是（）
A.抛物线开口向上，顶点在$x$轴上方
B.抛物线开口向上，顶点在$x$轴下方
C.抛物线开口向下，顶点在$x$轴上方
D.抛物线开口向下，顶点在$x$轴下方
3.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_4=9$，则公差$d$为（）
A.2B.3C.4D.5
4.若向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(1,2)$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为（）
A.$30^\circ$B.$45^\circ$C.$60^\circ$D.$90^\circ$
5.若函数$y=\ln(x^21)$的定义域为（）
A.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$B.$(1,1)$C.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$D.$(\infty,+\infty)$
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
1.若$\sin\theta=\frac{3}{5}$，则$\cos(2\theta)$的值为________。
2.已知函数$f(x)=2x^23x+1$，则$f(x)$的最小值为________。
3.在等比数列$\{b_n\}$中，若$b_1=2$，公比$q=3$，则$b_4$的值为________。
4.若矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$，则$A^2$的值为________。
5.若函数$y=e^x$的图像上一点$(a,b)$处的切线斜率为2，则$a$的值为________。
三、解答题（共5小题，每小题10分，满分50分）
1.已知函数$f(x)=x^33x^2+2x$，求$f(x)$的极值。
2.解不等式$\log_2(x+1)+\log_2(x1)2$。
3.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_4=10$，求$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$。
4.已知矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$，求$A$的特征值和特征向量。
5.已知函数$y=\sin(x)+\cos(x)$，求$y$的最大值和最小值。
四、证明题（共2小题，每小题10分，满分20分）
1.证明：对于任意正整数$n$，$n^2n!$。
2.证明：若$a,b$为正实数，且$a+b=1$，则$(a^2+b^2)\geq\frac{1}{2}$。
五、探究题（共1小题，满分10分）
1.探究函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$的图像特征，当$a,b,c,d$取不同值时，图像有何变化？
八、计算题（共5小题，每小题6分，满分30分）
1.计算极限lim(x→2)(x^24)/(x2)。
2.计算定积分∫(1toe)(1/x)dx。
3.计算二重积分?(x^2+y^2)dxdy，其中D是由x轴，y轴和x+y=1围成的区域。
4.计算级数∑(n=1to∞)(1/n^2)的前n项和。
5.计算矩阵A=[(2,1),(1,3)]的行列式det(A)。
九、应用题（共5小题，每小题6分，满分30分）
1.某公司生产两种产品，产品A的单利润为20元，产品B的单利润为30元。公司每月的总生产能力为1000件，且要求产品A的数量不少于200件。求公司每月的最大利润。
3.某工厂生产甲、乙两种产品，生产每件甲产品需要3小时，每件乙产品需要2小时。工厂每天最多工作8小时，且甲产品的日产量不超过5件。求工厂每天的最大产值。
4.某公司投资两种股票，股票A的预期收益率为10%，股票B的预期收益率为15%。公司决定投资股票A的资金不少于20万元，投资股票B的资金不少于30万元。求公司的最大预期收益。
5.某企业生产甲、乙两种产品，生产每件甲产品需要2个A零件和3个B零件，生产每件乙产品需要3个A零件和2个B零件。企业每月最多生产100件产品，且A零件的月供应量不超过200个，B零件的月供应量不超过250个。求企业的最大产值。
十、简答题（共5小题，每小题4分，满分20分）
1.简述