同济大学《高等数学》教学课件演讲人：XXX日期:
函数与极限导数与微分积分学微分方程多元微积分级数理论目录
01函数与极限
函数是一种特殊的二元关系，其中每一个自变量的值都对应唯一的因变量值。函数的定义描述函数在某区间内单调增加或减少的性质。函数的单调性根据函数的不同特性，可以将其分为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。函数的分类010302函数基本概念与性质定义函数在原点对称的性质，分为奇函数和偶函数。函数的奇偶性04
极限的定义与运算极限的概念极限是描述函数在某一点或无穷远处的行为或趋势的数学工具穷小量与无穷大量介绍无穷小量与无穷大量的概念及其在极限运算中的应用。极限的运算法则包括极限的加法、减法、乘法、除法等基本运算法则。极限的存在性探讨函数在某点处是否存在极限，以及判断极限存在的充分必要条件。
连续性与间断点分析函数的连续性描述函数在某一点或某一区间内是否连续的性质。间断点的分类根据函数在间断点处的左右极限情况，将间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等类型。连续函数的性质连续函数在其定义域内具有一些重要的性质，如介值定理、最值定理等。闭区间上连续函数的性质探讨闭区间上连续函数的零点存在性、最值定理等性质，以及这些性质在微积分学中的应用。
02导数与微分
导数定义与几何意义导数定义导数描述了函数在某一点的变化率，是极限概念在函数领域的具体应用。01几何意义导数在几何上表示了曲线在某一点的切线斜率，反映了曲线在该点的变化趋势。02左导数与右导数分别表示从左侧和右侧趋近于某点时函数的导数，对于可导函数，左导数等于右导数。03
微分法则与高阶导数微分法则与高阶导数基本初等函数的导数公式高阶导数导数运算法则微分表达式与导数关系包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的基本导数公式。包括加法、减法、乘法、除法等运算法则，以及复合函数的求导法则。通过多次求导，可以获得函数的高阶导数，用于研究函数的更高阶性质。微分表达式表示了函数在某一点的变化量，与导数有密切的关系。
微分中值定理应用罗尔定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且区间端点处的函数值相等，则在开区间内至少存在一点使得导数等于零。拉格朗日中值定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在开区间内至少存在一点使得该点的导数等于区间两端点函数值的差与区间长度的比值。柯西中值定理如果两个函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且导数的值不为零，则在开区间内至少存在一点使得两个函数在该点的导数之比等于两个函数在区间两端点的函数值之差与自变量之差之比。泰勒公式与麦克劳林公式泰勒公式是拉格朗日中值定理的推广，它用多项式来近似表示函数，而麦克劳林公式是泰勒公式在特定点（通常是零点）的特殊情况。
03积分学
不定积分计算方法包括基本积分公式和积分法则，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的积分方法。直接积分法通过变量替换简化被积函数的形式，从而将其转化为易于积分的形式，包括三角换元法和根式换元法等。熟练掌握常见的积分表和积分公式，以便快速计算。换元积分法利用函数的乘积法则，将复杂的被积函数拆分为两个简单函数的乘积，然后进行积分。分部积分分表与积分公式
定积分定义与性质定积分的定义通过无限分割和求和的方法，定义定积分及其几何意义。定积分的性质包括线性性、对称性、可加性等基本性质，以及积分上限函数和积分下限函数的性质。牛顿-莱布尼茨公式建立定积分与原函数之间的关系，提供计算定积分的一种有效方法。定积分的计算技巧掌握定积分的换元法、分部积分法以及积分上下限的变换等技巧。
积分在几何物理中的应用几何应用工程应用物理应用积分在经济学和金融学中的应用利用定积分计算平面图形的面积、曲线的弧长以及旋转体的体积等几何量。积分在物理学中的应用非常广泛，如计算物体的质量、质心、转动惯量等物理量，以及求解变速运动的路程、功、能等。积分在工程领域也有重要应用，如计算梁的截面面积、应力、应变等力学量，以及求解电磁学、热学等领域中的某些问题。利用积分求解经济、金融问题中的总量指标，如总收益、总成本等，以及进行风险评估和资产定价等。
04微分方程
微分方程基本概念微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。微分方程的定义方程中未知函数最高导数的阶数称为微分方程的阶数。微分方程的阶数满足微分方程的函数称为该方程的解，包括通解和特解。微分方程的解求解微分方程需要给定的初始条件，如初始值或边界条件。初始条件
可分离变量法通过变量分离，将微分方程转化为两个可积分的表达式，从而求解未知函数。齐次方程法通过变量代换，将微分方程转化为可分离变量的形式，进而求解。一阶线性微分方程利用常数变易法，求解一阶线性微分方程，包括齐次和非齐次两种情况。积分因子法通过寻找积分因子，将