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第三节微分中值定理及其应用

微分中值定理是导数应用的理论基础.;极值:设函数对点附近的任何都有

则称在点取得极大值，叫作极大值点.

类似地，可以定义极小值和极小值点.极大极小值点统称为极值点，极大极小值统称为极值。

;费马定理若函数在点取得极值，且导数存在，则.

证明:不妨设为的极大值点,则

驻点:使的点称为驻点.;驻点不一定是极值点.;微分中值定理

1、罗尔定理

2、拉格朗日中值定理

3、柯西中值定理;罗尔定理：设在上连续，在内可微，且,则在内至少存在一点，使.

证明：由闭区间上连续函数的性质，在

上有最大值和最小值。

（1）时，为一常函数，。

（2）时，不妨设，则在

内必存在一点，使，为极大???点，由费马定理。

;设在上连续，在内可微,则在内至少存在一点，使

;推论1：;柯西中值定理：

设在上连续，在内可微，且

,则在内至少存在一点，使

;泰勒公式(Taylor)

研究函数用多项式近似表示.

由微分近似公式;定理设在点的某个邻域内有直到阶导数，则对点附近的，有

;;例1.求函数的n阶Maclaurin公式;n=1;常用近似公式：