含多重积分的变分
作者：鲍祥平
含多重积分的变分问题在数学和物理领域中具有重要意义，尤其在理论物理、工程学和经济学等领域有着广泛的应用。这类问题通常涉及到Lagrange函数（也即变函函数）一个或多个自变量函数，这些自变量函数依赖于多个变量，并且相应的泛函I需要在多维空间上进行积分。
在变分法中，我们关注的是一个泛函的极值问题，这个泛函通常包含一个或多个多重积分。泛函的自变量通常是一个或多个函数，这些函数定义了积分路径或积分区域上的某种性质。我们的目标是找到这些函数，使得泛函取得极值（通常是最大值或最小值）。
解决含多重积分的变分问题通常需要使用变分原理，这涉及到对泛函进行变分，并求解由此产生的欧拉-拉格朗日方程或更一般的变分方程。这些方程描述了泛函极值条件下函数应满足的关系。
在实际应用中，含多重积分的变分问题可能涉及复杂的几何形状、物理过程或经济模型。因此，解决这类问题通常需要深厚的数学基础和专业知识，以及适当的数值方法和计算工具。
总的来说，含多重积分的变分问题是一个具有挑战性和重要性的研究领域，它为我们提供了一种强大的工具来分析和优化各种复杂系统的性能。
给定Ω??Ｎ为一有界区域，其中?Ω∈C1，给定一个Lagrange函数
I
上面为了书写简便，我们引入记号：
x=
u=
p=
p
?
?
6.1Euler-Lagrange方程的推导
称u0∈M
I
如果上面不等式只在Qu0φλ时成立，u0
类似于单变量的情形，我们在假定u0
为简洁起见，有时我们用记号τ=
定理6.1设L∈C2,u0∈C
α
证明?φ∈C01Ω
0
=
=
φix在?Ω上等于0,在边界上的积分为0。对于每一个Ω
我们将从更一般的情形来证明高维的duBois-Reymond引理。先引入单变量的钟形函数
ψ
对于多变量x=x
φ
其中x
对任意充分小的ε
φ
给定一个区域Ω??n，对任意充分小的
设u∈L
u
做变量替换z=y?xδ，
u
由于x,y∈Ω，以及对x的限制，所以z∈B1θ，B1θ
Ω
事实上，如果我们用Ωδ0上的连续函数υ取代u，那么以上极限显然是成立的，又因为CΩδ0
我们得到如下引理：
引理6.1设u∈Lloc
Ω
推论6.1设u∈L
Ω
则ux
证明事实上?δ
φ
根据上面的题设φ=
u
再按引理6.1uδx→ux，a.e，
和一元函数一样，我们称EL
υ
为关于L的Euler-Lagrange算子。
注6.1如果没有假设u∈C2，那么还可以定义Euler-Lagrange算子，不过Lp
类似于第二讲中注2.2与注2.3，对于含多重积分的变分问题我们也可以把泛函定义域M中的函数类C1Ω,?N，换成Lipschitz函数类LipΩ,?N，或者更特殊些，逐片C1的连续函数类PWC1Ω,?
例6.1（Drichlet积分）设N=1，
D
有E-L方程
α
这就是调和方程。又称Laplace方程。
也可以考虑更一般的变分问题，如
L
其中a∈CΩ
??u
例6.2（波动方程）用?1×?3表示时空连续统（就是一个时间轴加上了一个空间坐标系，构成时空四维空间，时间轴与空间坐标系正交，空间坐标系的坐标轴与时间轴经过同一原点，两两相互正交），时空中一点的坐标是t,x其中t表示时间，x=x
弹性波的动能是
T
位能是
U
Lagrange函数是
I
按稳定作用量原理，弹性波的位移是这个Lagrange函数对应的E-L方程
E
的解。这个方程就是Alembert方程。
类似的，如果还有内力或外力，那么在位能中可以再添加一些其它项，例如
U
其中M0是个常数。这时对应的E-L方程是Klein-Gordon方程：
E
又如
U
这时对应的E-L方程是非线性波方程
E
例6.3（极小曲面）设Ω??n，给定函数u∈C1Ω，它的图像
A
给定边值u?Ω
div
注意到这个超曲面的平均曲率是
H
如果给定了平均曲率函数Hx，x∈Ω，
div
值得注意的是6.
I
的E-L方程。
特别地，当n=2时，方程变为
1+
比较方程6.2与
现在我们来求极小曲面方程的一个特殊解：ux,y=fx+gy
1+
即
f
解出arctanf
f
同理
g
故
u
这个解对应的极小曲面被称为Scherk曲面。
例6.4（Maxwell方程）时空中一点的坐标是x0，x1，x2
在电磁场中电荷分部ρ和电流场j都是时空的函数，E=E
Maxwell方程组写作
?
因为??B=0，假设存在磁动势A=
???×
所以可认为磁场强度B是某个磁动势A的旋度
?×
B
B
B
再由Faraday
?×
推出存在电势A0
E+
我们把A=A
F
则
F
现在我们定义Lagrange函数
L=?
其中J=j
对应的泛函是作用量
I
由此导出E-L方程
?
p
因为