6.1引言
最优控制理论是现代控制理论的核心。
数学观点：最优控制研究的问题是求解一类带有约束
条件的泛函极值问题，本质上是一个变分学问题。
经典变分理论：容许控制属于开集
实际上：容许控制为闭集的更多。
针对经典变分法的局限性
美国学者贝尔曼在1953～1957年间创立了“动态规
划”,解决了控制有闭集约束的变分问题；
前苏联学者庞特里亚金等则在1956～1958年间创立
了极小值原理，也发展了经典变分原理，成为处理控制有闭集约束的变分问题的强有力工具。
本章在介绍解决最优控制问题3种基本方法(变分
法、极小值原理和动态规划)的基础上，阐述两类典型最优反馈系统的设计，即线性二次型最优控制和最小时间控制。
6.2最优控制问题的提出及数学描述
6.2.1最优控制问题实例
1.最速升降问题
图6-1最速升降问题示意图
设已知M在t=t时，离地面的
高度为x(t?),垂直运动的速度为x(t?),
问题是寻找作用力u(t)的变化规律，使M最快到达
地面，并使其到达地面时的速度为零。
设有一物体M,假定在M内部装有一个控制器，它可以产生一个作用力u(t),
u(t)≤k
其中k是常数。
u
M
mg
地面
x①=xt表示物体的高度，表示
物体的升降速度，则上式可写成状态方程
文①一x①xt?)=x1o
①ut—mxto)=x20
令物体M的质量为m,用x(t)表示M离地面的高度，
其方向规定为地面上x(t)为正，
现需寻找一个能使物体以最短时间从初态(x-0到达终态(0,0)的控制u(t)。定义系统的性能指标为
J=c=t,一右
式中，to为起始时刻，1+为终止时刻。要求时间最短，
即使性能指标J最小，这样求得的控制即为最优控制u*(t)。
2.搅拌槽问题
设有一盛放液体的连续搅拌槽，如图6-2所示。槽内装有不停转动着的搅拌器S,使液体经常处于完全混合状态，槽中原放0℃的液体。现需将其温度升高，为此在入口处送进一定量的液体，其温度为u(t),出口处流出等量的液体，以保持槽内液
面恒定。试寻找u(t)的变化规律，使槽中液体温度经1小时后上升到40°℃,并要求散失的热量最小。
图6-2搅拌槽问题示意图
在1小时内散失的热量为
处01①d
式中，q和r都是正的常数，to=0,t,=1。因此该最优控
制问题是：寻找u(t)的变化规律，使槽中液体经1小时后从0°℃上升到40°℃,并要求散失的热量最小，即J(u)
取最小值。
温差[uO-x⑦成正比，为简便计算，令比例系数为1,于是有
x(O=0
6.2.2最优控制问题的数学描述
构成最优控制问题必须具备以下几个基本条件：
1.被控系统的数学模型，即动态系统的状态方程状态方程在最优控制中为等式约束条件。
2.控制变量的约束条件(容许控制)
任何实际物理系统，控制变量总是受约束的，一般可写成
u(t)∈U(6-3)
式中，U表示一个封闭的点集合，称为控制域。此时称u(t)为容许控制。
3.状态方程的边界条件(初始状态和终值状态)
在最优控制问题中，t=t?时的初态通常是已知的，
日
xt)=x%(6-4)
而终值状态可以是状态空间中一个确定的点，
也可以是状态空间中某一个点集(目标集)中的任一点。
到达终端的时间+和终值状态x(t+)因问题而异。就终
端时间t来说，它可以是固定的，也可以是变动的或自由的。最通常的终值边界条件是(6-5)
xtf)=xf
但有时并不这样简单，如用导弹攻击运动的目标，终值是可能运动轨迹上的一个点，此时终值状态是受运动轨迹约束的，一般地约束可表示为
x,,,)t)==00,i=12·,(l≤n)(6-6)
4.性能指标，也称性能泛函或目标函数
性能指标是衡量系统在任一容许控制作用下性能好坏的尺度，在最优控制中其代替了传统的设计指标(如超调、调节时间、幅值裕度和相角裕度等)。
1)积分型性能泛函
J=LKtut)d(6-7)
2)终值型性能泛函
J-pxtst](6-8)