2025年高等数学基础及应用能力考试复习试题及答案
一、单项选择题（每题2分，共12分）
1.下列函数中，属于有界函数的是：
A.f(x)=x^2
B.f(x)=sin(x)
C.f(x)=1/x
D.f(x)=x^3
答案：B
2.设函数f(x)=x^2，g(x)=2x，则f(x)g(x)的值域为：
A.[0,+∞)
B.[0,4]
C.[0,2]
D.(-∞,+∞)
答案：A
3.下列极限中，属于无穷大量的是：
A.lim(x→0)x^2
B.lim(x→0)1/x
C.lim(x→0)x
D.lim(x→0)sin(x)
答案：B
4.设函数f(x)=x^2，则f(x)的值在x=0处为：
A.0
B.1
C.2
D.-2
答案：C
5.下列函数中，属于奇函数的是：
A.f(x)=x^2
B.f(x)=sin(x)
C.f(x)=1/x
D.f(x)=x^3
答案：B
6.设函数f(x)=x^2，g(x)=2x，则f(x)g(x)的导数为：
A.2x^2
B.4x
C.2x
D.4x^2
答案：C
二、填空题（每题2分，共12分）
7.设函数f(x)=x^2，则f(x)=_______。
答案：2x
8.设函数f(x)=x^3，则f(x)=_______。
答案：6x
9.设函数f(x)=sin(x)，则f(x)=_______。
答案：cos(x)
10.设函数f(x)=e^x，则f(x)=_______。
答案：e^x
11.设函数f(x)=1/x，则f(x)=_______。
答案：-1/x^2
12.设函数f(x)=ln(x)，则f(x)=_______。
答案：1/x
三、计算题（每题6分，共18分）
13.计算极限：lim(x→0)(sin(x)-x)。
答案：-1/6
14.计算极限：lim(x→∞)(1/x^2+2/x+3)。
答案：3
15.计算极限：lim(x→0)(e^x-1-x)。
答案：1/2
16.计算极限：lim(x→0)(sin(x)-x^3)。
答案：-1/6
四、证明题（每题6分，共12分）
17.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上必有最大值和最小值。
答案：略
18.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f(x)在区间[a,b]上恒大于0，则f(x)在区间[a,b]上单调递增。
答案：略
五、应用题（每题6分，共18分）
19.已知函数f(x)=x^2-2x+1，求f(x)的极值。
答案：f(x)的极小值为0，极大值为-1。
20.已知函数f(x)=x^3-3x+2，求f(x)的单调区间。
答案：f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)，单调递减区间为[-1,1]。
21.已知函数f(x)=e^x-x，求f(x)的导数。
答案：f(x)=e^x-1。
22.已知函数f(x)=ln(x)，求f(x)的导数。
答案：f(x)=1/x。
六、综合题（每题6分，共12分）
23.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的极值和单调区间。
答案：f(x)的极小值为-1，极大值为0；f(x)的单调递增区间为(-∞,2)和(2,+∞)，单调递减区间为[2,+∞)。
24.已知函数f(x)=e^x-x^2，求f(x)的导数和单调区间。
答案：f(x)=e^x-2x；f(x)的单调递增区间为(-∞,ln(2))和(2,+∞)，单调递减区间为[ln(2),2]。
本次试卷答案如下：
一、单项选择题（每题2分，共12分）
1.B
解析：有界函数是指函数的值域被一个有限的实数区间所包含，sin(x)的值域为[-1,1]，是有界函数。
2.A
解析：f(x)=x^2的值域为[0,+∞)，g(x)=2x的值域为(-∞,+∞)，两者乘积的值域为[0,+∞)。
3.B
解析：无穷大量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于无穷大，1/x在x趋于0时趋于无穷大。
4.C
解析：f(x)=x^2的导数为f(x)=2x，在x=0处，f(x)=0。
5.B
解析：奇函数满足f(-x)=-f(x)，sin(x)满足这一性质。
6.C
解析：f(x)g(x)=x^2*2x=2x^3，其导数为f(x)g(x)+f(x)g(x)=6x^2。
二、填空题（每题2分，共12