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2024-2025学年河北省石家庄市高一下学期第一次段考数学试题
一、单选题
1．若，则（???）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切
【分析】利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】因为，则.
故选：B.
2．已知平面向量，则“”是“，共线”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件、平行向量（共线向量）
【分析】根据向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若则，共线，故充分性成立；
若，共线，不一定得到，
如，，显然满足，共线，
但是不存在实数使得，故必要性不成立；
所以“”是“，共线”的充分不必要条件.
故选：A
3．设非零向量，若，则的取值范围为（????）
A．[0，1] B．[0，2]
C．[0，3] D．[1，2]
【答案】C
【知识点】向量的模、零向量与单位向量
【分析】根据单位向量、向量加法等知识确定正确答案.
【详解】因为是三个单位向量，
因此，当三个向量同向时，取得最大值为；
当三个向量两两成角时，它们的和为，也即的最小值为，
所以的取值范围为.
故选：C
4．已知平行四边形的对角线的交点为，则（???）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法的法则
【分析】根据给定条件，利用平面向量线性运算计算得解.
【详解】在中，.
故选：C
5．已知向量，，，若点不能构成三角形，则的值为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由向量共线（平行）求参数
【分析】先求得的坐标，再根据三点共线求出的值，即可得到结果.
【详解】由题意可得,，
若点三点共线，则点不能构成三角形,
即，解得：，
所以的值为.
故选：B.
6．如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（??????）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积
【分析】作在上的投影向量，观察图形结合数量积的几何意义求的范围.
【详解】由对称性可得，连接，与的交点为，
则为的中点，为的中点，
故，，，，
过点作直线的垂线，垂足记为，
则向量在向量上的投影向量为，
所以，
如图过点作，，垂足分别为，
所以，，
观察图象可得，其中与同向，与反向，
所以当点位于点的位置时，取最大值，最大值为，
当点位于点的位置时，取最小值，最小值为，
所以的取值范围是.
故选：B.
7．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（?????）
??
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量
【分析】题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算计算即可.
【详解】依题意在平行四边形中，，
又是的中点，则，
又与交于点，
所以，则，
所以，
又，
所以
故选：A.
8．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重（单位kg）约为（????）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用定义求向量的数量积、力的合成
【分析】利用向量的数量积求得两只胳膊的拉力的合力大小，再依据物理定理即可求得该学生的体重.
【详解】由物理定理可得，该学生的重力与两只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反
两只胳膊的拉力的合力大小为
则该学生的体重约为（kg）
故选：B
二、多选题
9．下列命题中的真命题是（????）
A．若为非零向量，则与同向
B．若，则与的夹角为钝角
C．若，，则
D．的充要条件是且
【答案】AC
【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量）、向量夹角的计算
【分析】对于A，由共线向量的概念和单位向量的求法即可判断；对于B，考虑特殊情况与的夹角为即可判断；对于C，由相等向量的概念即可判断；对于D，由相等向量和共线向量的概念即可判断.
【详解】对于A，因为是个正数，所以与是同方向的单位向量，故A正确；
对于B，当与的夹角为时，，，故B错误；
对于C，由，得，的长度相等且方向相同；由，得，的长度相等且方向相同，
所以，的长度相等且方向相同，即，故C正确；
对于D，当且方向相反时，不成立，所以且不是的充要条件，故D错误.
故选：AC.
10．已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（????）
A．若，，则动点