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2024-2025学年河北省河北正中实验中学高一上学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则的非空子集个数为（????）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】A
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算
【分析】先依次求出集合和，再由子集公式结合非空子集定义即可得解.
【详解】因为，
又，所以，
所以的元素个数为3，其非空子集有个.
故选：A.
2．已知，，则“，”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【分析】由，，可得，而得不出，，可得结论.
【详解】因为，，若“，，则，
所以“，”是“”的充分条件；
当，满足，但不满足，
所以“，”不是“”的必要条件.
故选：A.
3．已知且，则的最小值为（????）
A．4 B．6 C． D．8
【答案】D
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】且，则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，的最小值为8.
故选：D
4．命题“，”的否定是（????）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题即得.
【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定是“，”.
故选：A
5．已知集合，，，则（????）
A．? B． C．? D．?
【答案】A
【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算
【分析】根据题意，将集合用整倍数形式表示，分别求出和，利用集合的元素特征即可判断A正确；C错误；D错误；对于B，只需要举反例排除即可.
【详解】依题意，，，，
则，易知12的倍数一定是6的倍数，故A正确，C错误；
因，即，故D错误；
对于B项，任取，因，则，故B错误．
故选：A．
6．下列命题中正确的是（????）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若,，则
【答案】D
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】通过举反例排除A,B两项；利用作差法判断C项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到D项结论.
【详解】对于A，若，当时，则，故A错误；
对于B，若，满足，但，故B错误；
对于C，因，，由，可得，故C错误；
对于D，由，得，因，则，故D正确．
故选：D．
7．设，为实数，甲：，乙：，则甲是乙的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件、由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】根据不等式的性质及充分条件、必要条件的概念得解.
【详解】因为，推不出，
而，
所以甲是乙的必要不充分条件，
故选：B
8．定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集且，那么称子集族构成集合的一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（）
A．3 B．4 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】集合新定义
【分析】解二次不等式得到集合，由子集族的定义对集合进行划分，即可得到所有划分的个数.
【详解】依题意，，
的2划分为，共3个，
的3划分为，共1个，
故集合的所有划分的个数为4.
故选：B.
二、多选题
9．设，则（??????）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可.
【详解】设，
而，即A错误，C正确；
，即B正确；
，即D正确.
故选：BCD.
10．下列命题为真命题的是（????）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．若，则
D．若，且，则的最小值为9
【答案】AD
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、基本不等式“1”的妙用求最值、判断命题的充分不必要条件、全称命题的否定及其真假判断
【分析】首先可通过也有可能是负数得出A；通过全称命题的否定是特称命题判断出B；后通过判断出C；利用基本不等式可判断出D．
【详解】解：A．若，则；若，则也有可能是负数，
故“”是“”的充分不必要条件，正确，符合题意；
B．命题“”的否定是“”，错误，不符合题意；
C．若，，则，错误，不符合题意；
D．若，且，则，
当且仅当时，即时，取等号，故最小值为9，正确，符合题意；
故选：AD．
11．设正实数，满足，则（????）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
【答案】ACD