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2024-2025学年河北省承德市第二中学高二下学期3月份月考数学试题
一、单选题
1．已知函数的导数为，且，则（???）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】导数的运算法则
【分析】根据题意，求出函数的导数，令可得，变形即可得答案．
【详解】，，，解得.
故选：B.
2．函数的单调递减区间是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】根据函数的单调性与导数的关系即可求解.
【详解】解：函数的定义域是，，
令，解得，
所以函数在上单调递减．
故选：D．
3．设等差数列的前项和为，若，则当取得最小值时，的值为（????）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和的最值
【分析】根据等差数列的性质即可求解,,进而根据数列的单调性求解.
【详解】，即.
因此数列单调递增，
故当取得最小值时，的值为8.
故选：B.
4．已知函数，则的极小值点为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数极值点的辨析
【分析】的定义域为R，求导得，分析的符号，的单调性，极值点，即可得出答案．
【详解】解：的定义域为R，
，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以是的极小值点，
故选：B．
5．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】利用导数求得单调递减区间，问题等价于单调递减区间与区间的交集为非空区间，从而可以求参.
【详解】由，可得．
①当时，，此时函数单调递减，
所以当时，函数在区间内存在单调递减区间.
②当时，令，可得，
当时，单调递减；当时，单调递增.
所以函数的减区间为，增区间为，
若函数在区间内存在单调递减区间，
只需，得.
综上所述，．
故选：C
6．若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（???）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、导数的加减法
【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角范围即可.
【详解】设，，则
所以过点切线斜率
所以
所以得
故选：D
7．若是R上的增函数，则实数a的取值范围为（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数、分段函数的性质及应用
【分析】考虑分段函数的两段函数的单调性，再结合题意列出不等式组，即可求得答案.
【详解】当时，为单调递增函数；
当时，，则，
令，即，而，则可得，
故要使得是R上的增函数，
需满足，解得，
故选：C
8．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、求点到直线的距离
【分析】首先求平行于直线与曲线相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去），
单调递增
单调递减
设，，所以图象向上凹，
如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线，
则，
即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为，
，所以切点在直线的左侧，
曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离，
由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为．
故选：A
二、多选题
9．已知a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（????）
A．是a，b，c成等差数列的充要条件
B．是a，b，c成等比数列的充要条件
C．若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
【答案】AC
【知识点】等差中项的应用、等比中项的应用
【分析】根据等差中项与等比中项对选项一一验证即可得出答案.
【详解】对于选项A：根据等差中项即可得出是a，b，c成等差数列的充要条件，故A正确；
对于选项B：，即，又a，b，c为非零实数，所以根据等比中项即可证明a，b，c成等比数列，
a，b，c成等比数列，只能证明，即是a，b，c成等比数列的充分不必要条件，故B错误；
对于选项C：若a，b，c成等比数列，则，则，则，，成等比数列，故C正确；
对于选项D：若a，b，c成等差数列，则，无法得到，故D错误；
故选：AC.
10．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（????）
A．函数在上为增函数 B．函数在上为增函数
C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值
【答案】AD
【知识