全等三角形典型50例
全等基本模型
【典题1】证明：两全等三角形的对应角的角平分线相等.
【答案】已知：△ABC≌△ABC′,AD平分∠BAC交BC于D,AD′平分∠BAC交BC′于D.
求证：AD=AD.
证明：∵△ABC≌△ABC,
∴∠BAC=∠BAC,
∵AD平分∠BAC交BC于D,AD平分∠BAC交BC′于D
在△ABD和△ABD中，
∴△ABD≌△ABD,
∴AD=AD
【典题2】如图，在△ABE中，AB=AE,AD=AC,∠BAD=∠EAC,BC、DE交于点0.
求证：(1)△ABC≌△AED;(2)OB=OE.
【答案】(1)∵∠BAD=∠EAC∴∠BAC=∠EAD
在△ABC和△AED中
.△ABC≌△AED(SAS)
(2)由(1)知∠ABC=∠AED
∵AB=AE
∴∠ABE=∠AEB
∴∠OBE=∠OEB
∴OB=OE
【典题3】如图，点E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证：AF=DE.
【答案】证明：∵BE=CF
∴BE+EF=CF+EF
即BF=CE
在△ABF与△DCE中
AB=DC∠B=∠CBF=CE
∴△ABF≌△DCE(SAS)
∴AF=DE
【典题4】已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,∠ABC=∠BCD,AB=CD.求证：OA=OD.
【答案】证法一：
在△ABC和△DCB中，
∵AB=CD,∠ABC=∠BCD,BC是公共边，∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB,
且∠ACB=∠DBC.
∴OB=OC.
∴OA=OD.
证法二：
△ABC≌△DCB(同证法一)
∴∠ACB=∠DBC.
∴∠ABO=∠DCO.
又∵∠AOB=∠DOC,
∴△AOB≌△DOC.
∴OA=OD.
【典题5】如图所示，AB=AF,BC=FE,∠B=∠F,D是CE的中点.
(1)求证：AD⊥CE;
(2)连接BF后，还能得出什么结论?请你写出两个(不要求证明)
【答案】(1)连结AC、AE,则△ABC≌△AFE,∴AC=AE,
又∵D是CE的中点，∴AD⊥CE
(2)AD⊥BF,BF//CE
【典题6】如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M为CD中点.求证：AM⊥CD.
【答案】分别延长AB,DC交于点P:分别延长AE,CD交于点Q
∵∠1=∠2,∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°∴∠3=∠4
同理：∠5=∠6
在△PCB和△QDE中
∴∠P=∠Q,CP=DQ
∴AP=AQ
∵CM=DM
∴PM=QM
∴M为等腰△APQ底边中点
∴AM⊥CD
【典题7】如图，把长方形ABCD(AB=CD,AD=BC,∠A=∠ABC=∠C=∠CDA=90°)沿对角线BD对折，使点C落在点C处，请说明AE=CE.
【答案】∠AEB=∠CED,∠A=∠C=90°,AB=CD=CD,
∴△ABE≌△CDE,∴AE=CE。
【典题8】将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证：AF+EF=DE;
(2)若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°a60°,其他条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立；
(3)若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°β180°,其他条件不变，如图
3,你认为(1)中的结论还成立吗?若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由.
图2图3图1
图2
图3
【答案】(1)连结BF,∵△BED≌△BCA,∴BE=BC,又∵BF是公共边，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF,∴CF=EF,∴AF+EF=AC=DE。
(2)成立
(3)不成立，AF-EF=DE,
连结BF,与(1)同理，Rt△BCF≌Rt△BEF,∴CF=EF,
∴AF-EF=AC=DE
角平分线基本模型
【典题9】△ABC中.
(1)如图1,若∠BAC的平分线过BC的中点D,猜想AB与AC的关系并证明.
(2)如图2,若∠BAC的平分线不过BC的中点D,而是与BC的垂直平分线交于点E,过E作