专题06线段与角的等量代换模型
等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。
模型1.?线段与角度的等量代换模型
【模型解读】“等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。
1）线段的等量代换
条件：如图，已知：EG=HF；结论：EH=GF.
2）角度的等量代换
（图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）
条件1：如图，已知∠AOB=∠DOC；结论：∠1=∠2.
条件2：如图，已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.
例1．（2023秋·北京平谷·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，若，则（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据可得答案．
【详解】∵，∴，即．故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段的和差，掌握各线段之间的数量关系是解题的关键．
例2．（2023秋·河南商丘·七年级统考期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上任意一点，则下列表示线段关系的式子不正确的是（????）
A．AB=2ACB．AC+CD+DB=ABC．CD=ADABD．AD=（CD+AB）
【答案】D
【详解】A、由点C是线段AB的中点，则AB=2AC，正确，不符合题意；
B、AC+CD+DB=AB，正确，不符合题意；
C、由点C是线段AB的中点，则AC=AB，CD=ADAC=ADAB，正确，不符合题意；
D、AD=AC+CD=AB+CD，不正确，符合题意．故选：D．
例3．（2023.湖南省娄底市七年级期末）如图，点，分别是线段上两点（，），用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则为（????）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】C
【分析】根据题意可得，，再由即可得到答案．
【详解】解：，，点E与点F恰好重合，
∴，，∴，，
∴，故选：C．
【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，解题的关键在于能够根据题意得到，．
例4．（2023·湖北黄石·七年级统考期末）如图，顺次为线段上的两点，是的中点，则的值是（????）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【分析】由是的中点，解得，再由线段的和差将整理成，将整理成，最后由整体思想解题即可．
【详解】解：是的中点，
，BE=ABAE，
，AE=AD+DE，
故选：B．
【点睛】本题考查线段的和差、线段的中点等知识，是重要考点，难度较易，解题的关键是掌握线段的和差计算方式．
例5．（2023秋·重庆七年级课时练习）如图所示，点A、O、E在一条直线上，，那么下列各式中错误的是（????）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据角的和与差进行比较，，即；利用，选项D正确，再减去共同角，可得，由此得到正确选项．
【详解】∵
∴即，所以A正确；
∵∴，所以D正确；
∴即，所以B正确．故选C．
【点睛】考查角的和与差的知识点，学生要掌握等量代换的方法找到相等的角，熟悉了解角的和与差是解题的关键．
例6．（2023·山东枣庄·七年级期末）已知，如图，则度．
【答案】140
【分析】利用角的和差关系先求出，，再利用角的和差关系求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，∴．故答案为：140．
【点睛】本题主要考查了角的和差，关键是熟练掌握角的运算中的和差关系．
例7．（2023·安徽铜陵·七年级统考期末）如图，，下列结论：
其中正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角的和差关系，由已知条件进行解答即可．
【详解】解：，
，即，故正确；
又，，故正确；
，故正确；，故正确．正确的是，故选：D．
【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是明确题意，分清角的和差关系．
例8．（2023.广东省佛山市七年级期末）已知：
（1）如图1，吗？请说明理由．
（2）如图2，直线平分，直线平分吗？请说明理由．
（3）若，，求的大小．
【答案】（1），见解析；（2）直线平分，见解析；（3）150°或110°
【分析】（1）根据角的和差关系可得结论；（2）根据角平分线的定义求解即可；
（3）分在内部和外部两种情况进行求解即可．
【详解】解：（1）．理由如下：
即
（2）直线平分．理由如下：
，
又
直线平分即直线平分．
（3），，
①当在内部时，如图所示：
②当在外部时，如图所示：
综上所述，的度数为150°或110°．
【点睛】本题考查了解度的计算，角平分线的定义，正确识别图形是解题的关键．
例9.（