“复数的三角表示”内容的教材比较与教学建议
摘要：复数的三角表示可建立复数与平面向量、三角函数、方程之间的联系，帮助学生加深对数学知识之间联系的认识.由于教材可为“教”和“学”提供学习主题、基本线索和具体内容，是实现数学课程目标、发展学生核心素养的关键资源，教师可从编排序列、问题情境、知识阐述、训练系统等维度对各版教材展开分析，梳理异同，为融合教学作铺垫.鉴于当下教学存在的问题，教师可将“复数的三角表示”视为必学内容，运用联系和整体的观点引领概念建构，借鉴整合多版教材的素材资源，启迪学生应用复数的三角表示解决问题，引导学生思维向纵深发展.
关键词：复数的三角表示；教材比较；教学建议；高中数学
高中阶段对复数的学习，除了概念和基本表示方法外，主要学习运算和运算意义，特别是几何意义.其中，用复数的代数形式进行加减运算比较方便，并且可以通过“平行四边形法则”展现加减法的几何意义，但用它进行乘除运算却较为烦琐，且不便探究乘除运算的几何意义.为此，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“《课程标准》”）增加了“复数的三角表示”内容，以此简化复数的乘除运算，并直观诠释其几何意义.复数的三角表示[z=rcosθ+isinθ]（其中[r]为复数[z]的模，[θ]为其辐角）可建立复数与平面向量、三角函数、方程之间的联系，帮助学生加深对数学知识之间联系的认识，并为解决三角函数、平面几何相关问题和高次方程求根问题提供重要途径.同时，它还是学习复变函数论、解析数论等课程的必备理论［1］.
数学教材为“教”和“学”提供学习主题、基本线索和具体内容，是实现数学课程目标、发展学生核心素养的关键资源.当前，高中数学教材共有7个版本，分别是人教A版、人教B版、北师大版、沪教版、苏教版、湘教版、鄂教版，下面笔者以这7版教材中“复数的三角表示”内容作为研究对象，梳理异同，并提出教学建议.
一、教材比较
（一）编排序列
一般地，数学教材要根据数学知识发生发展的内在逻辑设计数学抽象过程，体现研究一个数学对象的“基本套路”，使教材具有内容的连贯性、逻辑的严谨性［2］.各版教材都紧跟三角函数和平面向量编排复数内容，具体册别位置不一（人教B版编排在必修第四册，鄂教版编排在必修第三册，其余版本编排在必修第二册）.在复数知识内部，各版教材都将“复数的三角表示”接续于“复数的概念与几何意义、四则运算”等传统内容之后，且独立成节.这样的编排沟通了复数与平面向量、三角函数等数学分支的联系，利于学生建构内部有机关联、衔接自然流畅、功能良性互补的复数单元知识结构（如图1所示），增强对数学知识整体性的认识.
（二）问题情境
情境为数学教学提供原动力，为数学知识应用提供场景，而作为教学手段的问题提出，则具有促进学生知识理解、提高学生问题解决能力、激发学生创造力的功能属性和价值取向［3］.数学学科核心素养通常就是在综合化、复杂化的情境中，通过学生与情境、问题的有效互动生成的.《课程标准》提出，教材编写应遵循学生认知规律，创设合适的问题情境，设计有效的数学学习活动，展示数学概念、结论、应用的形成发展过程，帮助学生把握数学内容的本质.
该节的首要问题是：如何引导学生发现和提出“复数的三角表示式”这一问题？从知识基础看，前面已经建立了复数与向量坐标的联系.此外，在三角函数中学生研究过“水车模型”，并通过证明得出：如果角[α]终边上任意一点P（x，y）（不与原点重合）到原点的距离为[r]，则[sinα=yr]，[cosα=xr].这些都为用三角函数表示半径为[r]的圆上某点的坐标做好了准备.基于此，人教A版教材设置“探究”栏目，引导学生展开学习活动：首先用模[r]表示向量的大小，然后借助图形引入辐角[θ]刻画向量的方向，再利用[a=rcosθ]，[b=rsinθ]，最终推导出复数的三角形式.该设计基于知识的“生长点”和学生的“最近发展区”，注重激发学习动机，循循善诱，详尽具体，利于学生领悟数学基本思想、积累基本活动经验.人教B版、沪教版、苏教版、鄂教版教材创设了与人教A版教材基本相同的问题情境导入新课；北师大版、湘教版教材则开门见山地给出了复数的三角形式，简明直白.
（三）知识阐述
1.复数乘法的三角表示及其几何意义
若[z1=r1cosθ1+isinθ1]，[z2=r2（cosθ2+isinθ2）]，由复数的乘法法则及两角和的正弦、余弦公式，得[z1z2=r1r2][[cosθ1+θ2+isinθ1+θ2]].可见，三角形式下的复数乘法就是辐角相加、模长相乘.
各版教材都详细推导了复数乘法运算的三角表示，并阐明了其几何意义.此外，沪教版教材进一步明确：一般地，把复数[z1]乘任意一个复数[z2]，在几何上就是对[OZ1]作两个变换的合成，即先伸缩再旋转，或者先旋转再伸缩，