第八章平面解析几何
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α(α≠eq\f(π,2))，则斜率k＝tan_α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).
3．直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用范围
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
4．线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
[小题体验]
1．若过点M(－1，m)，N(m＋1,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()
A．1 B.eq\f(1,2)
C．2 D.eq\f(1,3)
解析：选A由eq\f(4－m,m＋2)＝1，得m＝1.故选A.
2．直线3x－eq\r(3)y＋1＝0的倾斜角α为()
A．30° B．60°
C．120° D．135°
解析：选B直线方程可变形为y＝eq\r(3)x＋eq\f(\r(3),3)，tanα＝eq\r(3)，
∵0°≤α180°，∴α＝60°.故选B.
3．(2018·嘉兴检测)直线l1：x＋y＋2＝0在x轴上的截距为________；若将l1绕它与y轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l2的方程为________________．
解析：对于直线l1：x＋y＋2＝0，令y＝0，得x＝－2，即直线l1在x轴上的截距为－2；令x＝0，得y＝－2，即l1与y轴的交点为(0，－2)，直线l1的倾斜角为135°，∴直线l2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l2的斜率为1，故l2的方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.
答案：－2x－y－2＝0
1．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．
2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．
3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．
[小题纠偏]
1．过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距2倍的直线方程是()
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0
解析：选B当直线过原点时所求方程为2x－5y＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为eq\f(x,a)＋eq\f(y,2a)＝1，由该直线过点(5,2)，解得a＝6，对应方程为eq\f(x,6)＋eq\f(y,12)＝1，即2x＋y－12＝0，故选B.
2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________．
解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；
当斜率存在时，设其为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋10－5k＝0.
由距离公式，得eq\f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq\f(3,4).
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
答案：x－5＝0或3x－4y＋25＝0
eq\a\vs4\al(考点一直线的倾斜角与斜率)eq\a\vs4\al(?基础送分型考点——自主练透?)
[题组练透]
1．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则a，b满足()
A．a＋b＝1 B．a－b＝1
C．a＋b＝0 D．a－b＝0
解析：选D由题意得sinα＝－cosα，显然cosα≠0，则tanα＝－1，∴－eq\f(a,b)＝－1，a＝b，a－b＝0.
2．经过P(0，－1)作