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2025年中考数学总复习《圆的拓展探究常考热点题型》专项测试卷(附答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】
（1）如图1，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接．
①写出的度数是______，的度数是______，的度数是______；
②点为的中点，的半径为5，求线段的长；
【拓展提升】
（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，的半经为6，则的最大值是______．
2．【问题提出】小慧同学遇到这样一道问题，如图①，在中，点D为边的中点，以点D为圆心，为直径作圆，的平分线交此圆于点P，点P在内部，连接．
求证，的面积等于面积的一半．
【问题解决】小慧的做法是连接并延长，交于点Q，利用形状的特殊性解决问题，请你利用小慧的做法完成【问题提出】中的证明；
【问题拓展】如图②，在四边形中平分．，若，则面积的最大值为．
3．如图1，四边形内接于，是的中点，连结．
【初步尝试】
（1）在弦上有一点D，且，连结，求证：；
【变式应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，若恰为的直径，且，求弦的长；
【拓展延伸】
（3）如图3，若恰为的直径，过点E作，交的延长线于点，求的长．
4．【基础巩固】
（1）如图1，点A，，在同一直线上，若，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，是半圆的直径，弦长，，分别是，上的一点，，若设，，求出与的函数关系．
【拓展提问】
（3）已知是等边边上的一点，现将折叠，使点与重合，折痕为，点，分别在和上．如图3，如果，求的值（用含的代数式表示）．
5．阅读材料：如图（1），在中，，点P在边上，于点于点F，则．（此结论不必证明，可直接应用）
(1)【理解与应用】
如图（2），正方形的边长为2，对角线相交于点O，点P在边上，于点于点F，则______；
(2)【类比与推理】
如图（3），矩形的对角线相交于点点P在边上，交于点E，交于点F，求的值；
(3)【拓展与延伸】
四边形是半径为4的圆内接四边形，对角线相交于点O，，点P在弦上，交BD于点E，交于点F，当时，试判断的值是否为定值，若是请求出该定值并求出四边形面积的最大值；若不是定值，请说明理由．
6．在正方形中，、为平面上两点．
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【基础巩固】
(1)如图1，当点在边上时，，且，，三点共线，求证：；
【类比应用】
(2)如图2，当点在正方形外部时，，，且、、三点共线，若，，求点到直线的距离；
【拓展迁移】
(3)如图3，当点E在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点，若，，求正方形的边长．
7．已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．
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知识回顾
(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
8．阅读材料，某个学习小组成员发现：在等腰中，AD平分，∵，，∴，他们猜想：在任意中，一个内角角平分线分对边所成的两条线段与这个内角的两边对应成比例．
【证明猜想】如图1所示，在中，AD平分，求证：．
丹丹认为，可以通过构造相似三角形的方法来证明；
思思认为，可以通过比较和面积的角度来证明．
(1)请你从上面的方法中选择一种进行证明．
(2)【尝试应用】如图2，是的外接圆，点E是上一点（与B不重合，且，连结，并延长AE，BC交于点D，H为AE的中点，连结BH交AC于点G，求的值．
(3)【拓展提高】如图3，在（2）的条件下，延长交于点F，若，，求的直径（用x的代数式表示）．
9．小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
【问题发现】例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，如图2所示，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则．
【初步运用】
（1）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法，保留作图痕迹，你作图过程中用到哪些数学原理？请写出一条．
【问题拓展】
（2）如图4，已知矩形，，，M为边上的点．若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为_________．
10．【问题原型】如图①，在⊙O中，