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2025年中考数学总复习《圆的拓展》专项测试卷(附答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．小溢同学在复习圆中的垂径定理时，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦于点，且，．
(1)复习回顾：求的长．
(2)探究拓展：如图2，连接，点是上一动点，连接，延长交的延长线于点．
①当点是的中点时，求证：；
②如图3，连接，，当为等腰三角形时，请直接写出的长．
2．综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究．
问题背景：
（1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦的距离；
问题迁移：
（2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，．
①求证：四边形是矩形；
②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度；
问题拓展：
（3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围．
3．【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，表示灯塔，灯塔B在灯塔A的正东方向，且与A相距海里，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？
??
【解决问题】
（1）如图2，请你用已学知识判断与“危险角”的大小关系；
【问题探究】
（2）如图3，在优弧上还有一个灯塔E，经测量，灯塔之间的距离为海里，，求“危险角”的大小；
【问题拓展】
（3）如图4，已知港口K位于灯塔A正北方向且与灯塔A相距海里远，有一货轮Q沿直线l方向航行，若货轮Q恰能安全避开暗礁区，当货轮Q与灯塔的夹角最大时，求此时货轮Q与港口K的距离
4．已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）．
【初步感知】
（1）如图1，请直接写出的度数；
【实践探究】
（2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论；
【拓展延伸】
（3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明）
5．【问题背景】
如图1，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．
??
(1)【探究发现】如图1，连接，并延长交于D，连接．直接写出的度数为__________，与的数量关系为__________；
(2)【深入探究】如图2，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心O，在劣弧上取一点C（不与A、B重合），连接并延长交于点D，连接．猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若平分，，求的长．
6．如图①，的直径垂直弦于点E，且，．
(1)【复习回顾】求的长；
(2)【探究拓展】如图②，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
①当点G是的中点时，求证：；
②设，，请写出y关于x的函数表达式，并说明理由；
③如图③，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
7．【问题情境】
已知是的直径，点在弧上（不含点A，B），把沿对折，点A的对应点C恰好落在上．
【特例探究】
（1）当在上方而C在下方时（如图①），判断与的位置关系，证明你的结论；
【拓展探究】
（2）当，C都在上方时（如图②），过C点作于点D，且是的切线，求证：．
8．【驱动背景】
在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．
【前情感知】
（1）如图1，连接，，的度数为；
【问题探究】
（2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，．
①的度数为；猜想与的数量关系；
②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由．
【拓展生长】
（3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长．
9．综合与实践
如图，是的切线，为切点，是圆上与不重合的两点．
问题解决
（1）如图1，若是直径，，则________．
问题探究
（2）如图2，当为上任意一点时，与有怎样的关系?并加以证明．
拓展运用
（3）如图3，的半径是2，，求的大小．
10．问题背景：如图1，在四边形中，，，探究线段、、之间的数量关系．
小杨同学探究此问题的思路是：将绕点D逆时针旋转到处，点A、C分别落在点B、N