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2025年中考数学总复习《与平行四边形有关的最值问题》专项测试卷(附答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．【问题初探】
（1）如图1，点D是的边上一点，且．求证：；
（2）如图2，在中，，E是边的中点，D是边下方的一个动点，满足，连接，求线段的最大值；
【拓展应用】
（3）如图3，在正方形中，，E是射线上的一个动点，点F在线段上，且满足，求的最小值．
2．如图，在等边中，为线段上一动点（不与、重合），连接．
(1)如图1，若，，求线段的长；
(2)如图2，为线段上一动点，满足，连接交于点，过点作平行且等于，连接，取中点，连接，求证：；
(3)如图3，若，当取最小值时，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，请直接写出的最大值．（较容易）
3．如图，在菱形纸片中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，在线段上任意取一点，沿，剪下一个三角形纸片（余下部分不再使用）；
第二步：如图2，沿三角形的中位线将纸片剪成两部分，并在线段上任意取一点，线段上任意取一点，沿将梯形纸片剪成两部分；
第三步：如图3，将左侧纸片绕点按顺时针方向旋转，使线段与重合，将右侧纸片绕点按逆时针方向旋转，使线段与重合，再与三角形纸片拼成一个与三角形纸片面积相等的四边形纸片．
（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）
(1)请你在图3中画出拼接成的四边形；
(2)直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为，最大值为．
4．已知，与均为直角三角形，．
(1)如图1，若点共线，连接，且，求的长；
(2)如图2，若，连接，并延长交于点，，猜想与的数量关系并证明；
(3)如图3，，连接，点，点分别为与的中点，连接，记的最大值为的最小值为，请直接写出的值．
5．如图1，在平行四边形中，，过点C作边的垂线，交直线于点H，点O在直线上，半圆O以O为圆心，直径为，且将半圆O连同直径一起沿直线向左平移．
(1)半圆O的半径为____________；
(2)当半圆O与相切，切点为H时，如图14-2所示，设点M为半圆O上一点，点N为线段上一点，求的最大值和最小值分别是多少；
(3)当半圆O平移到与相切时，半圆O连同直径一起绕着点H继续以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为9秒时，判断半圆O与直线的位置关系，并给出证明．
6．如图，是正方形的对角线，．边在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为，连接，并过点作，垂足为，连接．
(1)请判断写出线段在平移过程中，四边形是什么四边形？
(2)请判断、之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
(3)在平移变换过程中，设，，求与之间的函数关系式，并求出的最大值．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以为边在第一象限作平行四边形，其中，．点从点出发，沿边向点移动，过点作的垂线，交折线于点．将平行四边形在的左侧部分沿折叠，点O的对应点落在x轴上，设折叠部分与平行四边形的重叠部分（图中阴影部分）的面积为，．
(1)当重叠部分为三角形时（如图1），求S和的函数关系式（不写的取值范围）；
(2)当重叠部分为四边形时，请直接写出的取值范围；
(3)在点从点移动到点的过程中，S是否有最大值？如果有，请求出S的最大值；如果没有，请说明理由．
8．如图①，在中，，，点在上（且不与点、重合）．在的外部作等腰，使，连接，过点作平行且相等于，连接、．
(1)此时四边形为__________形；、的数量关系为___________．
(2)将绕点逆时针旋转，当点在线段上时，如图②，连接．
①此时四边形为__________形；
②、的数量关系为__________，证明你的结论．
(3)在绕点逆时针旋转一周的过程中，若，，线段长度的最大值为__________．
9．在中，，，为平面内的一点．
(1)如图1，当点在边上时，，且，求的长；
(2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：；
(3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值．
10．如图1，在中，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M、P、N分别为，，的中点．
(1)求证：，；
(2)把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值．
11．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是________，位置关系是________；
(2)探究证明：