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2025年中考数学总复习《因式分解的应用》专项测试卷(附答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．已知为两位正整数，其十位上的数字为，个位上的数字为，且满足．
(1)写出符合条件的所有数；
(2)当时，若可以写成两个整数的平方差，求这两个整数的积．
2．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到的数学等式为．请解答下列问题：
(1)图2中所表示的数学等式为___________：
(2)请利用第（1）小题中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
(3)小灵同学用2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，7张两边分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，请你直接写出该大长方形的长和宽．
3．如图，在半径为的圆形钢板上冲去半径为的四个小圆孔．若，，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积．（取3.14）
4．大自然中就充满了各种各样的神秘数字和规律．如，神秘的数字7，彩虹有7种颜色、音乐有7个基本音阶等；“勾股数”，能够构成直角三角形三条边．小明研究正整数时发现：有的正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，并把这类正整数称为“偶像数”．如，，则4，12称为“偶像数”．
(1)试写出一个“偶像数”，并表示为两个连续偶数的平方差；
(2)求证：任意的“偶像数”都能被4整除．
5．综合与实践
请仔细阅读并完成相应任务．
阅读材料1：初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．有很多小学数学学习过的结论，初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神．（阅读材料来源于2022年版义务教育《数学课程标准》144页）
阅读材料2：华东版教材50页有一道练习题：两个连续整数的平方差必是奇数，请说明理由．师生一起研讨，理由如下：
设这两个连续整数为，其中为整数．
___________．
它必是奇数
(1)任务一：填空：上面横线上所缺内容是________；
(2)任务二：证明：两个连续偶数的平方差必是4的倍数．
(3)任务三：设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除，请说明理由．
6．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．例如：，，；则12、20、28这三个数都是完美数．
(1)按照上述规律，将完美数2028表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）；
(2)证明：任意一个完美数都能够被4整除；
(3)如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数．．．．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为28，求阴影部分的总面积．
7．【阅读材料】
把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用．
例如：（1）求的最小值．
解：，
，，
当时，即当时，有最小值，最小值为1．
再如：求的最大值．
原式，
，，
当时，有最大值，最大值为11．
【问题解决】
(1)当______时，代数式有最小值；
(2)用“配方法”求代数式的最大值；
(3)已知，则______．
(4)如图，王叔叔准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？
8．在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
，
根据以上信息，解答下列问题．
(1)填空：（__________）．
(2)①将化成另一个式子的平方．
②化简：．
(3)当，且，，均为正整数时，直接写出的值．
9．阅读与思考
配方法
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：
①用配方法因式分解：
原式
②求的最小值．
解：先求出的最小值
；
由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2．
进而的最小值为4．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：；
(2)用配方法因式分解：；
(3)求的最小值．
(4)已知实数x，y满足，求的最小值，