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2025年中考数学总复习《一次函数解答题综合之最值问题》专项测试卷(附答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点，，，…，都是和谐点．
(1)判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
(2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
①求a，c的值．
②当时，函数的最小值为，最大值为1，直接写出的取值范围．
2．定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过的两个锐角顶点，则函数是的“勾股函数”．若函数经过直角三角形的两个锐角顶点的坐标分别为，，且，当自变量满足时，函数的最大值记为，最小值记为，，则是的“”值．
已知：在平面直角坐标系中，，，轴．
(1)如图，点坐标为，．
①判断一次函数是不是的“勾股函数”，若是，求出的“”值：若不是，请说明理由．
②是否存在反比例函数是的“勾股函数”．若存在，求出值：若不存在，请说明理由．
(2)若点的坐标为，点的坐标为，二次函数是的“勾股函数”，且的“”值，求的值．
3．有如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两个点之间的距离的最小值称为点，，的“完美间距”．例如：如图，点，，的“完美间距”是．
(1)点，，的“完美间距”是______；
(2)已知，，，
①若点的，，的“完美间距”是，则的值为______；
②点，，的“完美间距”的最大值为______；
(3)已知点，，点为线段上一动点，当，，的“完美间距”最大时，求此时点的坐标．
4．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，．
(1)在点，，中，点是线段关于原点O的“伴随点”；
(2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
(3)已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
5．已知一次函数的图像经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，点，记，
(1)求的值；
(2)点在直线上，且在点的下方，以为直径的与线段CD有交点，求的面积的取值范围．
(3)在（2）的条件下，将线段绕点按逆时针旋转得到线段，再将线段绕点按顺时针旋转得到线段，再将线段绕点按逆时针旋转得到线段，若抛物线经过A、B、、四点，求该抛物线顶点的纵坐标的最大值与最小值的差．
6．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点．
??
(1)_____；
(2)点B在此一次函数图象上，其横坐标为，请求出的面积；
(3)点M在此一次函数的图象上，其横坐标为，直线上A、M两点间的部分（包括A、M两点）记为G，
①当图象G的最大值与最小值之差为1时，求m的值；
②平面内有一点，以点O为对称中心构造矩形，使得轴，当图象G与矩形只有一个交点时，直接写出m的取值范围．
7．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点．
(1)在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”；
(2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
(3)已知抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
8．直线与x轴，y轴交于M，N两点，将绕点O按顺时针方向旋转得到，，所在的直线相交于点A．
(1)如图1，当时，且轴时，过点N作，垂足为B，求的面积；
(2)当线段垂直于线段时，过点A作，交x轴于点C，求点C的坐标；
(3)点其中，点Q在上，在整个旋转过程中，的最大值和最小值的和为__________．
9．如图，将边长为15的正方形置于直角坐标系中，、分别与x轴、y轴的正半轴重合，边长为的等边的边垂直于x轴，从点A与点O重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向右平移，当边与直线重合时，继续以同样的速度向上平移，当点C与点F重合时，停止移动．设运动时间为x秒，的面积为y．
??
(1)当x为何值时，P、A、B三点在同一直线上，求出此时A点的坐标；
(2)在向右平移的过程中，当x分别取何值时，y取最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？
(3)在移动的过程中，请你就面积大小的变化情况提出一个综合论断．
10．某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下：
茶叶品种
进价（元/斤）
售价（元/斤）
甲
a
200
乙
3