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2025年中考数学总复习《四边形中最值问题解答题》专项测试卷(附答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图1，在正方形中，E为对角线上一点（），点B，F关于直线对称，过点D作的垂线，分别交，于点G，H．
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(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)如图2，连结并延长与的延长线交于点M，连结．若已知，设，用含x的代数式表示的面积，并求出面积的最大值．
2．在矩形中，，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为α（），得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G.
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(1)如图1，当点E落在边上时，线段的长度为__________.
(2)如图②，连接，当点E落在线段上时，与相交于点H，连接，
①求证：.
②求线段的长度.
(3)如图3，设点P为边的中点，连结，在矩形旋转的过程中，面积的最大值为_____
3．如图，在矩形中，点E为边的中点，点F为边上的一个动点，连接并延长，交的延长线于点G，以为底边在下方作等腰，且．
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(1)如图1，若点H恰好落在上，连接，．求证：
①；
②；
(2)如图2，点H落在矩形内，连接，若，，当点F在什么位置时，四边形的面积最大，并求它的最大值．
4．已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，点是边上的一个动点，以为一边作四边形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上，若，的面积为．
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(1)当，四边形是正方形时，求的值为；
(2)当，四边形是菱形时，求与的函数关系式；
(3)当四边形是矩形时且矩形的两邻边，请直接写出与的函数关系式；并指出的最大值．
5．问题提出：
（1）如图，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将沿所在直线翻折，点的对应点落在边上的点处，求的长．
问题解决：
（2）如图，在中，，为斜边上的中线，将沿所在直线翻折，点的对应点为，连接，若，则的面积是否存在最大值，如果存在，求出面积的最大值，并求出此时，的度数，如果不存在，请说明理由．
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6．在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．
(1)初步感知
如图①，当点落在边上时，线段的长度为___________；
(2)迁移探究
如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接．求线段的长度．
(3)拓展应用
如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，请直接写出这个最大值为___________．
7．已知矩形，，，将矩形绕A逆时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E．
(1)如图①，当时，连接，则的长=；
(2)如图②，当边经过点B时，连接，求的长；
(3)如图③，连接，点P是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值．
8．如图，等边三角形的顶点P和Q分别在矩形的两边上，（其中点P不与点B、C重合，点Q不与点C重合），点E在边上，且．
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(1)若，，，则：
①x可以取到的最大值是；
②写出y与x的函数关系式，并说明理由；
(2)若四边形的面积为，，求的长度；
9．如图，正方形中，是边上的动点，交延长线于点，交于点，连接．
(1)若，求的长；
(2)若点是的中点，探究、、的数量关系，并说明理由；
(3)正方形的边长为2，直接写出四边形面积的最大值．
10．如图，在平行四边形中，，点G是边的中点，过点G作直线分别交直线于点E、F．
(1)如图1所示，求证：；
(2)如图2所示，连接，若于点F，求证：；
(3)连接，已知，若点E落在线段上，求的最大值．
11．如图，已知矩形中，，，点P从点C出发沿边向点B运动，连接，过点P作交边于点Q，以为对角线作正方形．
(1)若，则______．
(2)点M一定在的角平分线上吗？请说明理由；
(3)当点P从点C重合的位置运动至点M落在边上时，求点M运动的路径长；
(4)在点P从点C到点B的运动过程中，请直接写出的外心到边的距离的最大值．
12．如图1，在正方形中，点在上（不与点，重合），点在边上，，连接，交于点．
(1)如图，连接与交于点，连接交于点．
求证：；
当=时，求的值；
(2)如图，若是的中点，以点为圆心，为半径作，是上的一个动点，连接交于点，求的最大值．
13．如图1，在等腰中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点．
(1)观察猜想：
图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
(2)探究证明：