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2025年中考数学总复习《利用垂径定理求值》专项测试卷(附答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图1，点是以为直径的上的动点，的平分线交于点，弦于点，连接交于点，连接交于点．
(1)求证：．
(2)当点平分时（如图2），求的值．
(3)若，求直径的长．
2．如图所示，在的内接中，，，作于点，交于另一点，是上的一个动点（不与，重合），射线交线段的延长线于点，分别连接和，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
(3)在点运动过程中，当时，求的值．
3．已知，线段是的直径，弦于点H，点M是优弧上的任意一点，．
(1)如图1，
①求的半径；
②求的值．
(2)如图2，直线交直线于点E，直线交于点N，连结交于点F，求的值．
4．如图，在中，，E为上一点，作，与交于点，经过点A、E、F的与相切于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求及的长．
5．如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得．
(1)求证：直线是的切线；
(2)过点作于点，交于点，若的半径为3，点为的中点，求图中阴影部分（弓形）的面积．
6．已知是半圆的直径，是弦延长线上一点．
(1)联结与半圆交于点．
①如图1，如果点是弧的中点，且，求的长；
②如图2，如果点是弧的中点，且，求的值．
(2)设是弦的中点，如果以点为圆心、为半径的圆与相切，以点为圆心、为半径的圆与直线相切，求的值．
7．已知：的切线交直径所在的直线于F，D为直径上一点，连接并延长交于点E，，
(1)求证：；
(2)过点C作于H，交于于点G，连接、，求证：；
(3)在（2）的条件下，，时，求线段的长．
8．如图，是的外接圆，是的直径，于点E．
(1)求证：；
(2)连接并延长，交于点G，连接，若，求的长．
9．如图，在⊙O中，弦垂直于半径，垂足为D，点E在的延长线上，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
10．如图，是的直径，，，是上三点，且，平分，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若，求证：．
11．内接于，F为上一点，连接交弦于点D，若．
(1)如图1，求证：
(2)如图2，连接，若，求证：．
(3)在（2）的条件下，延长交于点E，过点F作垂足为N，过点E作垂足为M，若，，求的长．
12．已知：和分别是⊙上的两条劣弧，且⊙的半径为5，，，和都可以在⊙上运动，且和没有公共点，连接，，，且，交于点．
(1)如图1，若经过圆心．
①求的长；
②求的度数；
(2)如图2，在和运动的过程中，的度数是否发生变化？请说明理由；
(3)如图3，连接，在和运动的过程中，四边形的面积也发生变化，记四边形的面积为，请直接写出的取值范围．
13．如图，已知是的外接圆，于，且点是的中点．
(1)如图①，若，求和的大小；
(2)如图②，若过点作的切线，与的延长线交于点，且，，求的半径．
14．如图，，分别与相切于，两点，的延长线交弦于点，，连接．
(1)求证：；
(2)若，的半径为2，求的长．
15．如图1，在中，点P在射线上运动，是的外接圆．
??
(1)如图2，当点O在上时，求的长．
(2)如图3，连接并延长，分别交于点D，E，交于点F．
①当时，求的半径．
②连接，的长为多少时，最小，并求出的最小值．
参考答案
1．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、垂径定理、三角形的中位线性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的有关性质和相似三角形的性质是解答的关键．
（1）先根据角平分线定义和圆周角定义证明，再根据垂直定义得到，进而可得结论；
（2）连接，，，，在中，根据余弦定义求出，则，在中，根据三线合一的性质可求出，根据等边对等角以及三角形外角的性质可求出，结合由（1）中，则求出，根据圆周角定理求出，则，则可判断E、O、C在同一直线上，即点O在上，故为的直径，则可证，证明得到，结合已知可求出，证明是等边三角形，得出，然后代入计算即可求解；
（3）如图1，连接、，设与的交点为M，利用圆周角定理和平行线的判定证明，分别证明和，求得，，设的半径为r，则，，证明求得，进而可得答案．
【详解】（1）证明：∵的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，则；
（2）解：连接，，，，
∵点平分，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴E、O、C在同一直线上，即点O在上，
∴为的直径，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，