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陕西省2025届高三第十次模拟考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（???）
A． B． C． D．
2．复数的虚部是（???）
A． B．1 C． D．3
3．某校学生会有男生8人，女生12人，现从男生中选出7人，从女生中选出11人参加志愿活动，则不同的选法种数为（???）
A．48 B．96 C．144 D．192
4．已知向量，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为（???）
A． B． C． D．
5．已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（???）
A． B． C． D．
6．已知，且，则（???）
A． B． C． D．
7．已知函数是上的增函数，则（???）
A． B． C． D．
8．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，两个垂足之间的线段叫做公垂线段，已知任意两条异面直线有且仅有一条公垂线段，且公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条．如图，在四面体ABCD中，AD是异面直线AB和CD的公垂线段，r为四面体ABCD的内切球半径，则（???）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知正数x，y满足，则（???）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（???）
A．直线是的图象的一条对称轴
B．为奇函数
C．在区间内有两个零点
D．若且，则的最小值为
11．如图，已知双曲线的焦距为8，点P为双曲线右支上一点（位于第一象限），且，Q为的平分线上一点，满足，，则（???）
A． B．
C．离心率 D．的面积为12
三、填空题
12．已知是公比为2的等比数列，是公差为4的等差数列，若，则的通项公式为．
13．在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高三年级学生体重的方差为．
14．已知实数a，b满足，记a的取值集合为M，则M中的整数有个．
四、解答题
15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若D为AC边的中点，，求b．
16．已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值．
17．如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，，．
??
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值．
18．已知函数，设的图象在处的切线为l：．
(1)若，证明：当时，；
(2)若有三个零点，，（）．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：．
19．将n个正整数构成的数列，，…，变为1，2，…，，，1，2，…，，，…，1，2，…，，的操作称为一次“扩展”．现对数列1，2，3，…，n扩展m次．
(1)若，，写出扩展后的数列；
(2)设扩展m次后得到的数列所有项之和为，证明：；
(3)从第2025次扩展后的数列中任取一项，求取到数字的概率．
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《陕西省2025届高三第十次模拟考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
A
C
D
C
A
BCD
AC
题号
11
答案
ACD
1．B
【分析】首先根据题意先求出集合中不等式的解集，然后根据集合的并集概念求出.
【详解】因为集合，所以
因为集合，所以.
故选：B.
2．D
【分析】直接利用复数的乘法法则计算可得答案.
【详解】因为，
所以复数的虚部为3.
故选：D.
3．B
【分析】首先分别计算从男生中选7人的选法种数和从女生中选11人的选法种数，然后根据分步乘法计数原理，将这两个结果相乘即可得到总的选法种数.
【详解】根据题意，从男生中选7人的选法种数为：
.
从女生中选11人的选法种数为：
.
所以总的选法种数为：.
故选：B.
4．A
【分析】首先利用坐标公式求出向量的数量积，然后求出向量夹角的余弦值，根据夹角为钝角条件求出的取值范围.
【详解】因为向量，
所以.
所以向量夹角的余弦值为：
因为向量的夹角为钝角，所以
解得且（当时），所以实数的取值范围为