第11讲构造论证
第11讲构造论证
六年级秋季
知识点
知识点
构造论证（六上）
1、掌握最佳安排和选择方案的组合问题．
2、利用基本染色去解决相关图论问题．
3、常见问题：天平秤物问题，比赛场数问题，数字列阵问题，生活中的趣题．
4、论证常用方法：奇偶分析、整除分析、染色分析、极端分析逐步调整．
备注
备注
课堂例题
课堂例题
填数类问题
1、（1）把1，2，3，……，8，9按合适的顺序填在图1第二行的空格中，使得每两个上、下对齐的数之和都是平方数．
（2）能否将1，2，3，……，10，11按合适的顺序填在图2第二行的空格中，使得每两个上、下对齐的数之和都是平方数？答：__________（“能”或“不能”）．
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
图1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
图2
【答案】
（1）从左至右填入的数依次是8，2，6，5，4，3，9，1，7（2）不能
【解析】
（1）先将每个空格可能填入的数写出来：
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3、8
2、7
1、6
5
4
3
2、9
1、8
7
9下面的7说明2下面只能是2，那么7下面只能是9，依此类推，即可轻松填出，如下表．
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8
2
6
5
4
3
9
1
7
（2）先将每个空格可能填入的数写出来：
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3、8
2、7
1、6
5
4、11
3、10
2、9
1、8
7
6
5
很明显，4和11的下面都只能填5，所以不可能填出符合题意的情况．
2、（1）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？
（2）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？
【答案】
（1）能．下面的排法满足要求：9，7，2，14，11，5，4，12，13，3，6，10，15，1，8
（2）能．下面的排法满足要求：15，4，13，6，11，8，9，10，7，12，5，14，3，2，1
【解析】
（1）先将每个数相邻的位置上能填的数写出来
1
1
2
3
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5
6
7
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10
11
12
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14
15
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15
7
14
1
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2
9
1
7
6
15
5
14
4
13
3
12
2
11
1
10
很明显，8和9相邻的位置上能填的数都是唯一的，说明8和9只能分别放在两边，然后左右开弓，很容易写出满足要求的情况，为9，7，2，14，11，5，4，12，13，3，6，10，15，1，8．
（2）考虑到任意相邻两数之和都要是质数，且最小的和是，那么能组成的所有质数一定是奇数．而两个数一定是一奇一偶和才是奇数，可知这一列数一定是奇偶相间排列，抓住这一点就可以很容易的得出答案，一种情况如15，4，13，6，11，8，9，10，7，12，5，14，3，2，1．
3、能否将1，2，3，……，9，10排成一行，
（1）使得任意相邻三个数之和都不大于16？答：__________（“能”或“不能”）
（2）能否使得任意相邻三个数之和都不大于15？答：__________（“能”或“不能”）
【答案】
能，其中一种排法是10，5，1，9，4，3，8，2，6，7；不能
【解析】
（1）能，注意在大数的旁边放小数即可，其中一种排法是10，5，1，9，4，3，8，2，6，7；
（2）不能，假设可以排列出符合要求的十个数依次为到，则、、，而这十个数之和为55，所以；同样道理可得，显然无法满足要求．
4、能否将1、2、3、…、6、7排成一圈，使得任意相邻三个数之和都不大于13？
【答案】
不能
【解析】
假设能填出，设7个数依次为a、b、c、d、e、f、g，则，，故．同理，每个数均至少为2，矛盾，假设不成立．
加减乘除操作题
5、有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子（每次这个数目可以改变），也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中．请问：
（1）如果开始时，3堆石子的数目分别是34，55，82，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？
（2）如果开始时，3堆石子的数目分别是80，60，50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？
如果可以，请设计一种取石子的方案；如果不可以，请说明理由．
【答案】
（1）能（2）不能
【解析】
（1）先想办法让石子数尽可能快的减少，然后再注意调整．（34，55，82）→（0，21，48）→
（24，21，24）→（4，1，4）→（4，3，2）→（2，1，0）→（1，1，1）→（0，0，0）．
（2）注意到每次操作后都不改变总石子数除以3的余数，而除以3余1，所以不可能变到（0，0，0）．
6、黑板上写着3个数8，18，28，老师现在请一些同学上黑板对这3个数进行操作．进行一