解例10第31页，共88页，星期日，2025年，2月5日例11如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程第32页，共88页，星期日，2025年，2月5日所求曲线为第33页，共88页，星期日，2025年，2月5日伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.伯努利方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程.第34页，共88页，星期日，2025年，2月5日求出通解后，将代入即得代入上式第35页，共88页，星期日，2025年，2月5日解例12第36页，共88页，星期日，2025年，2月5日例13用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为第37页，共88页，星期日，2025年，2月5日解分离变量法得所求通解为第38页，共88页，星期日，2025年，2月5日解代入原式分离变量法得所求通解为另解第39页，共88页，星期日，2025年，2月5日四、全微分方程1.定义:则若有全微分形式例如全微分方程或恰当方程所以是全微分方程.第40页，共88页，星期日，2025年，2月5日2.解法:?应用曲线积分与路径无关.通解为?用直接凑全微分的方法.全微分方程第41页，共88页，星期日，2025年，2月5日解是全微分方程,原方程的通解为例14第42页，共88页，星期日，2025年，2月5日解是全微分方程,将左端重新组合原方程的通解为例15第43页，共88页，星期日，2025年，2月5日积分因子法定义:问题:如何求方程的积分因子?第44页，共88页，星期日，2025年，2月5日1.公式法:求解不容易特殊地:第45页，共88页，星期日，2025年，2月5日第46页，共88页，星期日，2025年，2月5日2.观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式第47页，共88页，星期日，2025年，2月5日可选用的积分因子有解例16则原方程为第48页，共88页，星期日，2025年，2月5日原方程的通解为(公式法)可积组合法第49页，共88页，星期日，2025年，2月5日解将方程左端重新组合,有例17求微分方程原方程的通解为第50页，共88页，星期日，2025年，2月5日解将方程左端重新组合,有原方程的通解为可积组合法例18求微分方程第51页，共88页，星期日，2025年，2月5日解1整理得A常数变易法:B公式法:例19第52页，共88页，星期日，2025年，2月5日解2整理得A用曲线积分法:B凑微分法:第53页，共88页，星期日，2025年，2月5日C不定积分法:原方程的通解为第54页，共88页，星期日，2025年，2月5日五、一阶方程的近似解法定义1第55页，共88页，星期日，2025年，2月5日第56页，共88页，星期日，2025年，2月5日定义2等斜线的方程为在这条等斜线上的各点处方向场画法第57页，共88页，星期日，2025年，2月5日例20画出方程所确定的方向解方程的等斜线为画出五条等斜线,场示意图.第58页，共88页，星期日，2025年，2月5日定义3如图，的三条积分曲线．经过点根据方向场即可大致描绘出积分曲线．第59页，共88页，星期日，2025年，2月5日欧拉-柯西近似法问题:方法：近似积分法——欧拉—柯西近似法．一阶微分方程初值问题的解存在及唯一的充分条件如下定理：第60页，共88页，星期日，2025年，2月5日注意第61页，共88页，星期日，2025年，2月5日第62页，共88页，星期日，2025年，2月5日关于一阶微分方程第1页，共88页，星期日，2025年，2月5日一、可分离变量方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法第2页，共88页，星期日，2025年，2月5日例1求解微分方程解分离变量两端积分典型例题第3页，共88页，星期日，2025年，2月5日通解为解第4页，共88页，星期日，2025年，2月5日解由题设条件衰变规律第5页，共88页，星期日，2025年，2月5日例4有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容