2024-2025学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．下列事件为必然事件的是（）
A．在平面上画一个三角形，其内角和是360°
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
D．购买1张彩票，中奖
2．将抛物线y＝x2向下平移2个单位长度，得到的抛物线为（）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x+2）2
3．第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行、奥运会图标在视觉设计上主要融入三个方面的内容——对称设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素．下列四个图标中是中心对称图形的是（）
A．击剑 B．田径 C．马术 D．赛艇
4．用配方法解方程x2﹣8x﹣4＝0，变形后结果正确的是（）
A．（x﹣4）2＝20 B．（x﹣4）2＝16 C．（x﹣4）2＝12 D．（x﹣4）2＝4
5．如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（）
A．3 B．2 C．23
6．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，AB所在圆的圆心C恰好是△ABO的重心．若AB=3
A．π B．2π C．3π D．4π
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标满足如表：
x
…
﹣3
﹣2
0
1
3
5
…
y
…
7
0
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
下面有四个结论：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴为直线x＝2；
③当﹣2＜x＜4时，y＜0；
④x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c+5＝0（a≠0）的一个根．
其中正确的结论有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题2分，共16分）
9．在平面直角坐标系中，点（3，5）关于原点对称的点的坐标是．
10．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式．
11．某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据：
重复试验次数
10
50
100
500
1000
2000
5000
钉尖朝上次数
5
15
36
200
403
801
2001
估计任意抛掷一枚图钉、钉尖朝上的概率约为（结果精确到0.1）．
12．据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居民人均可支配收入分别为3.5万元和3.9万元．设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为．
13．如图，以点O为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边AB重合，如果点D在量角器上对应的刻度为110°，连接CD．那么∠BCD＝．
14．如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，∠C＝135°，AD＝2，则AB＝．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，将△ABC绕点A逆时针旋转α，得到△ADE，∠E＝60°．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则α＝°．
16．古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式表示数字，如图所示．
据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，百万相当．即在算筹记数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如，算筹表示的四位数是6613．
（1）用3根算筹表示的两位数可以是（写出一个即可，算筹不剩余且个位不为0）；
（2）在用4根算筹表示的所有两位数中，随机抽取一个数，这个数大于60的概率为（算筹不剩余且个位不为0）．
三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解方程：x2﹣4x＝5．
18．如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是⊙O中弦AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点C，并且AB＝1m，CD＝2.5m，求⊙O的半径．
19．已知：⊙O为△ABC的外接圆；D是BC：边上的一点，连接AD．
求作：∠BEC，使得点E