2022~2023学年度第二学期期末质量检测
高一数学试卷
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（）
A.-1B.1C.D.
2.一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是众数的倍，则为（）
A.4B.5C.6D.7
3.已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量是（）
A.B.C.D.
4.某校200名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成组（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）
A.频率分布直方图中a的值为0.006
B.估计某校成绩落在内的学生人数为50人
C.估计这20名学生考试成绩的众数为80分
D.估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为80分
5.已知是三条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列说法正确的是（）
A.，则
B.与异面，，则不存在，使得
C.则
D.，则
6.在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是侧面（包含边界）上的一动点，若平面，则线段长度的取值范围是（）
A.B.C.D.
7.已知是边上的点，且为的外心，则的值为（）
A.B.10C.D.9
8.已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，若其侧棱上的八个三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）
A.B.C.D.
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目条件.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）
A.
B.
C.若复数满足，则或
D.已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
10.为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为6，方差为8：图书管理员乙也抽取了一个容量为200的样本，并算得样本的平均数为9，方差为11.若将两个样本合在一起组成一个容量为300的新样本，则新样本数据的（）
A.平均数为7.5B.平均数为8
C.方差为12D.方差为10
11.已知，且.当时，定义平面坐标系为“-仿射”坐标系，在“-仿射”坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：分别为轴，轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么下列说法中正确的是（）
A.设，则
B.设，若，则
C.设，若，则
D.设，若与的夹角为，则
12.某组合体由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②.则下列说法正确的有（）
A.多面体的体积为
B.经过三个顶点的球的截面圆的面积为
C.异面直线与所成的角的余弦值为
D.球离球托底面的最小距离为
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知是关于的方程的一个根，则__________.
14，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
15.在中，它的内角对应边分别为.若，则__________.
16.甲?乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则__________.
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知点，直线与单位圆在第一象限的交点为.
（1）求；
（2）求.
18.（12分）
已知直三棱柱面为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若直三棱柱的体积为1，且，求直线与平面所成角的正弦值.
19.（12分）
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标样本平均数和，样本方差分别为和.
已知.
（1）求；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高）.
20.（12分）
等腰直角中，为内一点，.
（1）若，求；
（2）若，求.
21.（12分）
如图，在三棱台中，平面平面.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小的正切值.
22.（12分）小明对圆柱中的截面进行一番探