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武汉市2024届高中毕业生二月调研考试
数学试卷
武汉市教育科学研究院命制
2024.2.28
本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解法，对数函数的值域，集合的交集运算得到结果即可.
【详解】集合，
因为，所以，所以集合，
所以，
故选：B.
2.复数满足，则（）
A. B.2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先待定结合复数相等求得，结合模长公式即可求解.
【详解】由题意不妨设，所以，
所以，解得，所以.
故选：C.
3.已知，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果.
【详解】由换底公式得，，，
所以.
故选：D.
4.将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（）
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】A
【解析】
【分析】先将红球从数量分成，两种类型的分组，在分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为个，将两类情况的方法总数相加即可.
【详解】将个红球分成组，每组球的数量最多个最少个，则有，两种组合形式，
当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有放法，
此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为个即可.
当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有种放法，
此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为个即可.
综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，
不同的装法种数为种.
故选：A.
5.设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得，结合正切定义以及可得，进一步即可求解.
【详解】如图所示：
为准线与轴的交点，
因为，且，所以，
因为，所以，
而，所以，
所以.
故选：A
6.法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过层薄膜，记光波的初始功率为，记为光波经过第层薄膜后的功率，假设在经过第层薄膜时光波的透过率，其中，2，3…，为使得，则的最大值为（）
A.31 B.32 C.63 D.64
【答案】C
【解析】
【分析】通过累乘法以及等差数列求和公式得，进一步得，结合数列单调性即可得解.
【详解】由题意，所以，
所以，即，
显然关于单调递增，其中，
又，所以的最大值为63.
故选：C.
7.如图，在函数部分图象中，若，则点的纵坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意首先得，进一步得由得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式即可求解.
【详解】由题意，则，所以，
设，因为，
所以，解得，
所以
，
所以，又由图可知，所以.
故选：B.
8.在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先得的轨迹方程，进一步作二面角的平面角为，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等条件.
【详解】因为，所以，点的轨迹方程为（椭球），
又因为，所以点的轨迹方程为，（双曲线的一支）
过点作，而面，
所以面，
设为中点，则二面角为，
所以不妨设，
所以，
所以，令，
所以，
等号成立当且仅当，
所以当且仅当时，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是用定义法作出二面角的平面角，结合轨迹方程设参即可顺利得解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9.已知向量，，则（）
A.若，则 B.若，则
C.