2025年南京市九年级上学期期中考试数学竞赛试题国际课程挑战
一、选择题
要求：从下列各题的四个选项中，选择一个正确答案。
1.若实数a、b满足a+b=2，ab=1，则a2+b2的值为：
A.2
B.3
C.4
D.5
2.已知函数f(x)=x2-2x+1，那么f(x+1)的值为：
A.x2+2x+1
B.x2-2x+1
C.(x+1)2-2(x+1)+1
D.(x+1)2+2(x+1)+1
3.在直角坐标系中，点A(2,3)、B(4,1)和C(x,y)构成的三角形ABC是等腰三角形，若AC=BC，则x的值为：
A.3
B.4
C.5
D.6
4.若一个数的平方等于它本身，则这个数是：
A.0或1
B.0或-1
C.1或-1
D.0或2
5.已知函数f(x)=2x+3，若f(2)=7，则f(3)的值为：
A.8
B.9
C.10
D.11
二、填空题
要求：在下列各题的空格中填入正确答案。
6.若a、b是方程x2-5x+6=0的两个根，则a2+b2的值为______。
7.已知等差数列{an}的前三项分别为2、5、8，则该数列的公差为______。
8.在直角坐标系中，点P(3,4)关于y轴的对称点坐标为______。
9.若一个数的倒数是它的相反数，则这个数是______。
10.已知函数f(x)=3x-2，若f(-1)=1，则f(2)的值为______。
三、解答题
要求：解答下列各题。
11.已知函数f(x)=x2-4x+3，求f(x)的对称轴和顶点坐标。
12.已知等差数列{an}的前n项和为S_n，若S_5=35，S_8=76，求该数列的首项和公差。
四、解答题
要求：解答下列各题。
13.已知函数f(x)=(x-1)2+2，求函数f(x)的最小值。
14.已知等边三角形ABC的边长为a，求三角形ABC的面积。
五、解答题
要求：解答下列各题。
15.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且顶点坐标为(1,-4)，且函数图像与x轴交于点A(-3,0)和B(2,0)，求该二次函数的解析式。
16.已知等腰三角形ABC的底边BC=8cm，腰AB=AC=6cm，求三角形ABC的周长。
六、解答题
要求：解答下列各题。
17.已知数列{an}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_5=25，求该数列的第4项a_4。
18.已知函数f(x)=|x-2|，求函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.B.3
解析：根据题意，有(a+b)2=a2+2ab+b2，代入a+b=2，ab=1得到4=a2+2+b2，因此a2+b2=4-2=2。
2.C.(x+1)2-2(x+1)+1
解析：将x+1代入f(x)中得到f(x+1)=(x+1)2-2(x+1)+1。
3.C.5
解析：由于AC=BC，因此点C的横坐标为点A和点B横坐标的平均值，即(2+4)/2=3。
4.A.0或1
解析：一个数的平方等于它本身，即x2=x，解得x(x-1)=0，所以x可以是0或1。
5.C.10
解析：由于f(2)=7，得到2*2+3=7，因此f(x)=2x+3，代入x=3得到f(3)=2*3+3=9。
二、填空题
6.7
解析：根据韦达定理，a+b=5，ab=6，所以a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2*6=25-12=13。
7.3
解析：等差数列的公差d=第二项-第一项=5-2=3。
8.(-3,4)
解析：点P关于y轴的对称点坐标是横坐标取相反数，即(3,4)的对称点是(-3,4)。
9.0
解析：一个数的倒数是它的相反数，即x=-1/x，解得x2=-1，这是不可能的，因此这个数是0。
10.4
解析：由于f(-1)=1，得到3*(-1)-2=1，因此f(x)=3x-2，代入x=2得到f(2)=3*2-2=4。
三、解答题
11.对称轴x=2，顶点坐标(2,-1)
解析：对称轴公式为x=-b/(2a)，代入a=1,b=-4得到x=2。顶点坐标为(x,f(x))，即(2,f(2))，代入f(x)得到顶点坐标为(2,-1)。
12.首项a=3，公差d=2
解析：等差数列的前n项和公式为S_n=n/2*(2a