2025年加拿大数学竞赛（CMO）模拟试卷：组合数学与数论难题解析与实战技巧
一、选择题
要求：从下列各题的四个选项中，选择一个正确的答案。
1.在一个由5个点组成的集合中，任意两点之间都有一条唯一的连线，这样的图形被称为：
A.圆
B.矩形
C.树
D.网络图
2.在一个由4个点组成的集合中，任意两点之间都有一条唯一的连线，这样的图形被称为：
A.圆
B.矩形
C.树
D.网络图
3.在一个由6个点组成的集合中，任意两点之间都有一条唯一的连线，这样的图形被称为：
A.圆
B.矩形
C.树
D.网络图
4.在一个由8个点组成的集合中，任意两点之间都有一条唯一的连线，这样的图形被称为：
A.圆
B.矩形
C.树
D.网络图
5.在一个由10个点组成的集合中，任意两点之间都有一条唯一的连线，这样的图形被称为：
A.圆
B.矩形
C.树
D.网络图
二、填空题
要求：将正确的答案填入空格中。
6.一个由n个点组成的集合，其中任意两点之间都有一条唯一的连线，这样的图形被称为______。
7.一个由n个点组成的集合，其中任意两点之间都有一条唯一的连线，这样的图形的边数是______。
8.一个由n个点组成的集合，其中任意两点之间都有一条唯一的连线，这样的图形的顶点数是______。
9.一个由n个点组成的集合，其中任意两点之间都有一条唯一的连线，这样的图形的度数是______。
10.一个由n个点组成的集合，其中任意两点之间都有一条唯一的连线，这样的图形的直径是______。
三、解答题
要求：请写出详细的解题过程。
11.设有一个由5个点组成的集合，其中任意两点之间都有一条唯一的连线。请画出这个图形，并求出它的边数、顶点数、度数和直径。
12.设有一个由6个点组成的集合，其中任意两点之间都有一条唯一的连线。请画出这个图形，并求出它的边数、顶点数、度数和直径。
13.设有一个由7个点组成的集合，其中任意两点之间都有一条唯一的连线。请画出这个图形，并求出它的边数、顶点数、度数和直径。
四、证明题
要求：用数学归纳法证明以下命题：
14.对于任意正整数n，从1到n的自然数中，存在一个数k，使得k!+1是质数。
五、计算题
要求：计算以下表达式的值：
15.设a、b、c为三角形的三边，且满足a+bc，b+ca，a+cb。证明：a^2+b^2c^2。
六、应用题
要求：根据以下条件，设计一个密码系统，并解释其工作原理：
16.设计一个密码系统，要求：
-密码由6位数字组成。
-前三位数字是用户的出生年月日。
-后三位数字是用户选择的任意三位数。
-密码中不允许有重复的数字。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.C
解析：树是由n个顶点组成的有限无向图，且满足以下两个条件：
-没有环。
-任意两个顶点之间有且仅有一条路径。
2.C
解析：同上题解析，树是由n个顶点组成的有限无向图，且满足以下两个条件：
-没有环。
-任意两个顶点之间有且仅有一条路径。
3.C
解析：同上题解析，树是由n个顶点组成的有限无向图，且满足以下两个条件：
-没有环。
-任意两个顶点之间有且仅有一条路径。
4.C
解析：同上题解析，树是由n个顶点组成的有限无向图，且满足以下两个条件：
-没有环。
-任意两个顶点之间有且仅有一条路径。
5.C
解析：同上题解析，树是由n个顶点组成的有限无向图，且满足以下两个条件：
-没有环。
-任意两个顶点之间有且仅有一条路径。
二、填空题
6.树
解析：树是由n个顶点组成的有限无向图，且满足以下两个条件：
-没有环。
-任意两个顶点之间有且仅有一条路径。
7.n-1
解析：在一个由n个顶点组成的树中，由于树中任意两个顶点之间有且仅有一条路径，所以边的数量为n-1。
8.n
解析：树是由n个顶点组成的有限无向图，所以顶点数为n。
9.2(n-1)
解析：在树中，每个顶点的度数至少为1，且树中任意两个顶点之间有且仅有一条路径，所以每个顶点的度数最多为2。因此，树中所有顶点的度数之和为2(n-1)。
10.n-1
解析：树的直径是指树中最长的路径的长度。由于树中任意两个顶点之间有且仅有一条路径，所以直径的长度为n-1。
三、解答题
11.答案：
```
1
/\
23
/\
45
```
解析：这是一个由5个点组成的树，其中边数为4，顶点数为5，度数为2(n-1)=2(5-1)=8，直径为n-1=5-1=4。
12.答案：
```
1
/|\
23