2025年加拿大数学竞赛（CMO）模拟试卷：组合数学与数论进阶策略解析与突破
一、选择题
要求：在下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将其选出。
1.设集合A={1,2,3,4,5}，集合B={a,b,c,d}，若集合A与集合B的笛卡尔积A×B的元素个数为n，则n=_________。
A.20
B.25
C.15
D.10
2.在平面直角坐标系中，点P(a,b)关于x轴的对称点为P，则P的坐标为_________。
A.(a,-b)
B.(-a,b)
C.(a,b)
D.(-a,-b)
3.若一个等差数列的前三项分别为2,5,8，则该数列的公差为_________。
A.1
B.2
C.3
D.4
4.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C=_________。
A.75°
B.90°
C.105°
D.120°
5.若一个数的平方根是-2，则该数是_________。
A.4
B.-4
C.16
D.-16
二、填空题
要求：将正确的答案填入下列各题的横线上。
6.若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an=_________。
7.若等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，则第n项bn=_________。
8.在△ABC中，若∠A=2∠B，∠C=3∠B，则∠B=_________。
9.若一个数的立方根是3，则该数是_________。
10.在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于y轴的对称点为P，则P的坐标为_________。
三、解答题
要求：解答下列各题。
11.已知数列{an}满足an=2an-1+1，且a1=1，求该数列的前5项。
12.已知等差数列{bn}的前5项和为25，公差为2，求该数列的首项。
13.已知等比数列{cn}的首项为3，公比为2，求该数列的前5项。
四、证明题
要求：证明下列各题。
14.证明：若m和n是正整数，且mn，则m^nn^m。
15.证明：对于任意的正整数n，都有1+2+3+...+n=n(n+1)/2。
五、应用题
要求：解答下列各题，并说明解题思路。
16.一批货物有若干个箱子，每个箱子可以装20kg或25kg。如果每个箱子都装20kg，则可以装50箱；如果每个箱子都装25kg，则可以装40箱。请问这批货物共有多少千克？
17.一位农夫有100平方米的土地，他想种植小麦和玉米。小麦每平方米产量为2千克，玉米每平方米产量为3千克。若农夫想要总产量达到600千克，他应该种植多少平方米的小麦和玉米？
六、综合题
要求：结合所学知识，完成下列综合题。
18.一个长方体木块的长、宽、高分别为a,b,c，且abc。若木块的体积V=abc，求证：V^2≥a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2。
19.有一个六面体骰子，它的每个面分别涂有1到6的数字。现掷两次，求以下概率：
（1）两次掷出的数字之和为7的概率；
（2）两次掷出的数字之和为偶数的概率。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.答案：B
解析：集合A有5个元素，集合B有4个元素，笛卡尔积A×B的元素个数是两个集合元素个数的乘积，即5×4=20。
2.答案：A
解析：点P(a,b)关于x轴的对称点P的y坐标取相反数，x坐标不变，所以P的坐标为(a,-b)。
3.答案：B
解析：等差数列的公差是相邻两项之差，所以公差d=5-2=3。
4.答案：C
解析：三角形内角和为180°，∠A=60°，∠B=45°，所以∠C=180°-60°-45°=75°。
5.答案：B
解析：一个数的平方根是-2，则该数的平方是(-2)^2=4。
二、填空题
6.答案：an=a1+(n-1)d
解析：等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差。
7.答案：bn=b1*q^(n-1)
解析：等比数列的通项公式是bn=b1*q^(n-1)，其中b1是首项，q是公比。
8.答案：∠B=30°
解析：∠A=2∠B，∠C=3∠B，所以∠B=∠A/2=60°/2=30°。
9.答案：27
解析：一个数的立方根是3，则该数是3^3=27。
10.答案：(2,-3)
解析：点P(2,3)关于y轴的对称点P的x坐标取相反数，y坐标不变，所以P的坐标为(-2,3)。
三、解答题
11.答案：a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,a5=31
解析：根据递推公式a