2025年加拿大数学竞赛（CMO）模拟试卷：组合数学与数论进阶竞赛解题技巧精讲

一、多项式与数论

要求：掌握多项式的性质，数论中的同余定理，以及多项式在数论中的应用。

1.设\(p\)是一个奇素数，证明：对于任意整数\(a\)，存在整数\(k\)，使得\(a^p\equiva^k\pmod{p^2}\)。

2.设\(a\)和\(b\)是两个互质的整数，证明：存在整数\(x\)和\(y\)，使得\(ax+by=a^2+b^2\)。

3.设\(p\)是一个素数，证明：对于任意整数\(n\)，\(n