2025年加拿大数学竞赛（CMO）模拟试卷（组合数学与数论进阶）——竞赛备考必备公式与定理

一、多项式与数论

要求：解答以下多项式与数论相关的问题。

1.设多项式$f(x)=x^3-4x^2+7x-10$，求$f(x)$的三个根$a$、$b$、$c$，使得$a^2+b^2+c^2=10$。

2.设$p$是素数，$n$是正整数，且$p\nmidn$。证明：对于任意正整数$k$，方程$x^k+y^k=n$在整数域$\mathbb{Z}$中至多有两个解$(x,y)$。

二、组合计数

要求：解答以下组合计数相关的问题。

1.设$A=\{1,2,3