关于几何学的人生第1页，共26页，星期日，2025年，2月5日5.2.1经验公式古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积的方法三角形面积用一数乘以另一数的一半来表示圆面积的计算公式是A=(8d/9)2，其中d是直径。这就等于取π为3.1605。四边形的面积公式：（a+c）（b+d）/4（其中a、b、c、d依次表示边长）。高为h、底边长为a和b的方棱锥的平头截体的体积公式：V=(1/3)h(a2+ab+b2)第2页，共26页，星期日，2025年，2月5日5.2.2求积方法勾股术与图证[插入图5.5]“析理以辞，解体用图”——“弦图”[插入图5.7]大方=弦方+2矩形，（1）大方=勾方+股方+2矩形，（2）比较（1）与（2），得弦方=勾方+股方。阿基米德的双重方法——用力学原理发现公式，再用穷竭法加以证明[插入图5.11]如图5.11抛物线有内接三角形PQq，其中P与Qp中点V的连线平行于抛物线的轴。阿基米德从物理的方法发现：抛物线被Qp截得的抛物线弓形的面积，与三角形QPq的面积之比是4：3。阿基米德进而使用穷竭法证明第3页，共26页，星期日，2025年，2月5日5.2.3多边形数[插入图5.12][插入图5.13][插入图5.14]第4页，共26页，星期日，2025年，2月5日最早的演绎几何学《几何原本》（约公元前300年，古希腊数学家欧几里得）建立了第一个数学理论体系——几何学。标志着人类科学研究的公理化方法的初步形成，《几何原本》共十三卷，其中第一、三、四、六、十一和十二卷，是我们今天熟知的平面几何和立体几何的知识，其余各卷则是数论和（用几何方法论证的）初等代数知识。全书证明了465个命题。第5页，共26页，星期日，2025年，2月5日5.3.1《原本》的公理化体系《原本》的公理化体系：全书先给出若干条定义和公理，再按由简到繁的顺序编排出一系列的定理(465个命题)。使整个几何知识形成了一个演绎体系第6页，共26页，星期日，2025年，2月5日公设：（1）从任一点到任一点作直线是可能的。（2）把有限直线不断循直线延长是可能的。（注意，这里所谓的直线，相当于今天我们所说的线段。）（3）以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的。（4）所有直角彼此相等。（5）若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点（现今称为平行公理）。第7页，共26页，星期日，2025年，2月5日公理：（1）跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。（2）等量加等量，总量仍相等。（3）等量减等量，余量仍相等。（4）彼此重合的东西是相等的。（5）整体大于部分。从现代公理化方法的角度来分析，《原本》的公理化体系存在着以下一些缺陷。没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上《原本》的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念.但是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的例如,每一个三角形都是等腰的“证明”[插入图5.18]第8页，共26页，星期日，2025年，2月5日5.3.2《原本》中的几何方法《原本》在证明相关结论中使用了多种几何方法，如,叠合法,归谬法,代数式的几何证法,等等。这些方法是人类早期研究图形性质的数学方法，在现代基础教育中仍发挥着积极的作用。举例如下：毕德哥拉斯定理，《原本》使用几何的证法如下：如图5.19，先证明△ABD△FBC，推得矩形BL与正方形GB等积。同理推得矩形CL与正方形AK等积。第9页，共26页，星期日，2025年，2月5日5.4三大作图问题与《圆锥曲线》三个作图问题：倍立方，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍；三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分；化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。第10页，共26页，星期日，2025年，2月5日直到19世纪，才证实了只用圆规和直尺来求解这三个作图题的不可能性，然而对这三个问题的深入探索引出大量的发现。其中包括