二十一世纪的数学展望
2数学社会现象工程现象物理现象
3数学和工程科学是社会科学的基础理论物理是工程科学的基础数学是理论物理的基础
4人类科技愈进步愈能发现新现象种种繁复现象使人极度迷惘(例如︰湍流问题、黑洞问题)但是主宰所有现象变化的只是几个少数的基本定律。Standardmodel(标准模型)统一了三个基本场︰电磁场、弱力、强力但是重力场和这三个场还未统一物理学上的统一场论
5 重力场由广义相对论描述，是狭义相对论和牛顿力学的统一理论而形成的。 这是爱因史丹最富有想象力的伟大创作。 爱因史丹方程是 其中gij是测度张量（引力场），Tij是物质张量Rij是Ricci曲率张量 黎曼几何学从这个方程进入到物理学的核心部分︰ 时空的变化
6弦理论希望统一重力场和其他所有场。在廿一世纪，基本数学会遇到同样的挑战︰基本数学会朝统一的方向发展，只有在各门分支大统一后，这些分支才会放出灿烂的火花，而我们才会对这些学问得到本质性的了解。数学上的统一？
7数学的大统一将会比物理的大统一来得基本，也将由统一场论孕育而出。弦论的发展已经成功地将微分几何代数几何群表示理论数论拓扑学相当重要的部分统一起来。数学已经由此得到丰富的果实。
8 大自然提供了极为重要的数学模型，物理学和工程学上很多模型都是从物理直觉或从试验观察出来的。但是数学家却可以从自己的想象，在观察的基础上创造新的架构。 成功的数学架构往往是几代数学家共同努力得出的成果，也往往是数学中几个不同分支合并出来的火花。例如，AndrewWiles的工作就是由椭圆曲线理论和Automorphicform理论，表示论和交换代数理论的合并得出来的结果。
9 几何、数字（尤其是整数）和函数的架构可以说是数学里最直观的对象，因此在数学的大统一过程中会起着最要紧的作用。数学分析和代数则是研究这几门学问的主要工具，也是基本数学和应用数学的主要桥梁。数学的对象和工具
10 数学的发展由一个变量到多个变量，由一维到高维空间，由可换群到非交换群，由低次方程到高次方程，由线性方程到非线性方程，都是不可逆转的趋势。凡此种种，都随自然而生，始得华茂。有些数学家逆时发展一些数学结构，难以得到丰盛的果实。数学的发展
11中国古代哲学家就主张一切事物的发展都须顺应自然。老子︰“人法地，地法天，天法道，道法自然”孙子兵法︰“故兵无常势，水无常形。能因敌变化而取胜者，谓之神。”“激水之疾，至于漂石者，势也。”
12 找寻数学方程的整数解是算术中一个重要的问题。对一次方程组，中国数学家对同余的方法有很重要的贡献，因此数学史上有着名的中国余数定理。 在现代计算机和密码理论亦用到这个同余的方法。数论
13对任何一个素数p，我们可以找寻方程在p同余的意义下的整数解（同时也考虑pn的同余解）。这种解的个数可以由计算机算出。假如我们将这些数据全部放在一起，就可以构成所谓L函数，这是数论中最重要的函数。它是一个很美妙的函数，既有乘积又有无穷级数的的表示，它的数论意义极为重要，因此它有很多特殊的性质。
14 L函数是个复函数。它有很多重要的解析性质。从Artin，Weil，一直到Langlands都想了解它。在六十年代时，Swinnerton－Dyer－Birch对L函数在零点的消减次数和椭圆曲线的整数解做出一个极为深刻的猜想，影响了五十年来的算术理论。这个猜想在多复变方程组时还没有很好的推展。（Beilinson的猜想就是其中一种尝试。）
15 Swinnerton－Dyer－Birch猜想可以用来解决一些难题。一个数学上最古老的问题就可由它来解决: 找出所有正整数n，使得它是一个有理直角三角形（三个边的长度都是有理数）的面积。例如6=4×3/2，而{3,4,5}是直角三角形的边的长度。 这个问题由Tunnel在八十年代解决，但他需要假定Swinnerton-Dyer-Birch猜想的真实性。
16 二十世纪的数论学家透过代数几何的方法已经将整数方程与几何结合，群表示理论则提供数论和几何学结合最重要的工具。在数论里的Galois群和在几何学里的规范群，都与群表示有关。五十年来，我们看到数论和几何的研究从可交换群发展到非交换群的表示理论。产生了Langlands理论和Yang－Mills理论。他们都在现代数学上占有重要地位置。
17在Langlands理论的想法中，一般算术流形上的L函数可由所谓Shimura流形的L函数生成。在椭圆曲线的特殊情形下推出所谓Shimura－Tanniyama－Weil猜测。而这个猜测由AndrewWiles十年前证明，他透过Frey，Serre和Ribet的贡献将困扰了数学界近三百多年的Fermat猜测完全解决。就是说以下方程:在n≧3时的整数解必定在{0,-1,1}的集