1.大数定律定义设随机变量序列{Xn},如果存在一个常数a,使得对任意的ε0，有则称{Xn}依概率收敛于a,记作定理5.1(切比雪夫大数定律)设随机变量序列{Xn}相互独立,数学期望和方差均存在,E(Xn)=un,D(Xn)=σn2k(n=1,2,...),其中常数k与n无关,则对任意的ε0,有大数定律与中心极限定理
定理5.2设{Xn}为相互独立的随机变量序列,且有相同期望与方差:E(Xi)=u,方差D(Xi)=σ2(i=1,2,...),则对任意的ε0,有定理5.3（贝努里利大数定律）设每次试验中事件A发生的概率为p，n次重复独立试验中事件A发生的次数为un，则对任意ε0,事件的频率有
定理5.4林德贝格-勒维定理(独立同分布中心极限定理)设X1,X2,…,Xn,…为独立同分布序列,期望μ,方差σ20,设注以上定理表明只要n比较大,就有近似结果:2.中心极限定理
例5.1用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为100克,标准差为10克,一箱内装200袋味精,求一箱味精净重大于20500克的概率?解设一箱净重为X,箱中第i袋味精净重为Xi,(i=1,2,…,200)则X1,X2,…,X200独立同分布,EXi=100,DXi=102=100,且由中心极限定理得X近似服从正态分布,EX=200EXi=20000,DX=200DXi=20000,所求为P(X20500)=1-P(X≤20500)=0.0002故一箱味精净重大于20500的概率为0.0002.
例5.2一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50kg，标准差为5kg，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。解设Xi(i=1,2,…,n)为装运的第i箱的重量,n是所求的箱数。则X1,X2,…,Xn独立同分布,EXi=50,DXi=52=25,令由中心极限定理得所以即最多可以装98箱.
例5.3设X12,X22,…,Xn2是独立同分布的随机变量序列,其中Xi~N(0,1)(i=1,2,…),令证明Yn近似服从标准正态分布.证明由题意得所以由中心极限定理得即Yn近似服从标准正态分布。
定理5.5若随机变量μn～Ｂ(n,p)(n=1,2,…),则对任意ab有注(1)以上定理也称为棣莫佛-拉普拉斯定理.(2)它表示当n很大时,二项分布可用正态分布近似逼近:即若X~B(n,p),当n很大时,有近似结果X~N[np,np(1-p)].(3)P(X=m)=P(m-0.5X≤m+0.5)
例5.4某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，随机抽查100户，利用棣莫佛-拉普拉斯积分定理求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的近似值。解设X表示100户中被盗索赔户数,则X~B(100,0.2)由棣莫佛-拉普拉斯定理得：X近似服从正态分布,EX=np=20,DX=np(1-p)=16,所以X~N(20,16)所求P(14≤X≤30)=0.927
例5.5分别利用切比雪夫不等式和中心极限定理估计概率其中是n次贝努里试验中事件A发生的次数,p为事件A在每次试验中发生的概率,
并就n=600,p=1/6,ε=0.02时进行比较.解由得由切比雪夫不等式得由中心极限定理得将n=600,p=1/6,ε=0.02代入0.57870.1886可见由中心极限定理计算的结果要比切比雪夫不等式精确的多.