将本征值代入常微分方程，得到欧拉型常微分方程作代换则，方程化为：于是通解是解得即第31页，共51页，星期日，2025年，2月5日一个傅里叶级数等于零,意味着所有傅里叶系数为零,即：由此得：由条件得第32页，共51页，星期日，2025年，2月5日主要部分是项,可见在表达式中不应出现高次幂，于是最后得柱外的静电势为：由知结合前面系数关系，有习题6、8第33页，共51页，星期日，2025年，2月5日§2.3非齐次方程的求解设该问题的解为：例1求解有界弦的受迫振动问题（Ⅰ）我们已经知道，对应齐次问题的固有函数系为又设因已知，所以固有函数展开法（又称傅立叶级数法）第34页，共51页，星期日，2025年，2月5日代入非齐次方程和初始条件得：用Laplace变换求解得：∴方法总结：将未知函数和非齐次项按照对应的齐次问题的固有函数展开，其展开系数为另一变量的未知函数，代入非齐次方程和初始条件确定该未知函数。第35页，共51页，星期日，2025年，2月5日设：【解】对应齐次问题的固有函数系为代入泛定方程，得于是有例2求解有界弦的受迫振动问题（Ⅱ）第36页，共51页，星期日，2025年，2月5日代入初始条件于是：第37页，共51页，星期日，2025年，2月5日关于数理方程分离变量法第1页，共51页，星期日，2025年，2月5日§2.1齐次发展方程的分离变量法一分离变量法简介研究两端固定的理想弦的自由振动，即定解问题设代入上述波动方程和边界条件得方程、边界条件均齐次用遍除第2页，共51页，星期日，2025年，2月5日两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记作------这可以分离为关于X的常微分方程和关于T的常微分方程，且边界条件也同样进行分离称为固有值（本征值）问题第3页，共51页，星期日，2025年，2月5日特征根通解求方程的通解的步骤为：(1)写出微分方程的特征方程(2)求出特征根，(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。二阶常系数齐次线性微分方程第4页，共51页，星期日，2025年，2月5日1、在λ0时，方程的解是积分常数和由边界条件确定由此解出=0,=0，从而2、λ=0时方程的解是则仍然解出第5页，共51页，星期日，2025年，2月5日3、λ0的情况方程的解是只有才能保证，方程有非零解此时再看关于T的方程于是或称为固有值，称为固有函数第6页，共51页，星期日，2025年，2月5日这个方程的解分离变量的形式解(n=1,2,3,…)由叠加原理，一般解为：现在要求出叠加系数和满足初始条件第7页，共51页，星期日，2025年，2月5日方程左边是傅里叶正弦级数,这就提示我们把右边的展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数，得第8页，共51页，星期日，2025年，2月5日，则可得原问题的解：按上述公式计算出系数和注：该解称为古典解，在求解中我们假设无穷级数是收敛的。如上的方法称为分离变量法，是齐次发展方程求解的一个有效方法。下面对该方法的步骤进行总结。第9页，共51页，星期日，2025年，2月5日分离变量流程图固有值（特征值）问题第10页，共51页，星期日，2025年，2月5日偏微分方程第11页，共51页，星期日，2025年，2月5日【解】杆上温度满足下列泛定方程和定解条件试探解代入方程和边界条件得固有值问题【例题1】研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度,另一端跟外界绝热，杆上初始温度为,试求无热源时细杆上温度的变化。和常微分方程分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下