2025年加拿大数学竞赛（CMO）模拟试卷（组合数学与数论进阶）高级解析版

一、数论基础

要求：本部分主要考查对数论基础知识的掌握，包括质数、同余、模运算等。

1.设p是大于3的质数，证明：对于任意整数a，a^2-a是p的倍数。

2.证明：对于任意正整数n，n^2+n是3的倍数。

3.设a、b是任意两个正整数，证明：a^2+b^2是偶数的充分必要条件是a和b都是偶数。

4.设p是大于3的质数，证明：对于任意整数a，a^2-2a是p的倍数。

5.设p是大于3的质数，证明：对于任意整数a，a^3-a是p的倍数。

二、同余与模运算

要求：本部分主要考查同余与模运算的应用