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文档摘要

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第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容:一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径平面曲线的曲率

规定：??一、弧微分

设在(a,b)内有连续导数,其图形为AB,弧长

则弧长微分公式为或几何意义:若曲线由参数方程表示:

曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．))弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大)二、曲率及其计算公式

点M处的曲率注意:直线上任意点处的曲率为0!在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为对应切线定义弧段上的平均曲率转角为

例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.

有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K的计算公式二阶可导,设曲线弧则由

例2.求椭圆在何处曲率最大?解:故曲率为K最大最小求驻点:

设从而K取最大值.这说明椭圆在点处曲率计算驻点处的函数值:最大.

三、曲率圆与曲率半径在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.设M为曲线C上任一点,在点在曲线把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.M处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D使

例3.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为由例2可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.

内容小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率圆曲率半径曲率中心

思考与练习1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答:有公切线;凹向一致;曲率相同.2.求双曲线的曲率半径R,并分析何处R最小?解:则利用