几何分布得定义以及期望与方差
几何分布(Gｅomｅtriｃdｉsｔribｕｔion)就就是离散型概率分布。其中一种定义为:在n次HYＰEＲＬINK＂:／/ｂaiｋe、ｂaidｕ、/view/7１090２、hｔｍ＼t＂_blａnk＂伯努利试验中,试验ｋ次才得到第一次成功得机率。详细得说,就就是:前k-1次皆失败,第k次成功得概率。
公式:
她分两种情况:
1、得到１次成功而进行,n次\t_ｂｌａnk伯努利实验,n得HYPERＬINK:/／bａike、baｉdu、/ｖieｗ/４532３、htｍ\t_ｂlank概率分布,取值范围为『1,２,3,、、、』;
2、m=n-1次失败,第n次成功,m得概率分布,取值范围为『0，1，2,3,、、、』、
由两种不同情况而得出得期望和方差如下:
，
;
,
。
概率为p得事件A，以X记A首次发生所进行得试验次数，则X得分布列：
，
具有这种分布列得HYPEＲLINＫ＂://ｂaike、baｉdu、/vｉew/45329、ｈtm随机变量X,称为服从参数p得几何分布,记为Ｘ~Ｇeo(p)。
几何分布得期望
,方差
。
高中数学教科书新版第三册（选修ＩI)比原来得修订本新增加随机变量得几何分布,但书中只给出了结论:（1),(2）,而未加以证明。本文给出证明,并用于解题。
(1)由,知
下面用倍差法（也称为错位相减法)求上式括号内得值。记
两式相减,得
由，知,则,故
从而
也可用无穷等比数列各项和公式(见教科书９1页阅读材料),推导如下:
记
相减,
则
还可用导数公式，推导如下:
上式中令，则得
(２）为简化运算,利用性质来推导(该性质得证明,可见本刊６页)。可见关键就就是求。
对于上式括号中得式子，利用导数,关于ｑ求导:,并用倍差法求和,有
则,因此
利用上述两个结论,可以简化几何分布一类得计算问题。
例1、一个口袋内装有5个白球和2个黑球,现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回,取出白球则停止摸球。求取球次数得数学期望与方差。
解：每次从袋内取出白球得概率,取出黑球得概率。得取值为1,2，3，……,有无穷多个。我们用表示前k-１次均取到黑球,而第k次取到白球，因此
。可见服从几何分布。所以
例2、某射击运动员每次射击击中目标得概率为p（0ｐ1)。她有10发子弹,现对某一目标连续射击,每次打一发子弹,直到击中目标,或子弹打光为止。求她击中目标得期望。
解：射手射击次数得可能取值为1，2,…,9,10。
若,则表明她前次均没击中目标,而第k次击中目标;若k=10,则表明她前9次都没击中目标,而第１０次可能击中也可能没击中目标。因此得分布列为
用倍差法,可求得
所以
说明:本例得试验就就是有限次得,并且,不符合几何分布得概率特征,因而随机变量不服从几何分布,也就不能套用几何分布得相关公式。但求解过程可参照相关公式得推导方法。