第04讲向量的数量积
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课程标准
课标解读
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。
2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握向量数量积的定义及投影向量.
3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
4.掌握向量数量积的运算律及常用的公式.
知识精讲
知识精讲
知识点01向量数量积的定义
1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的(如图所示).
当θ＝0时，a与b；当θ＝π时，a与b.
2.垂直：如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，则称a与b，记作.
3.非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的(或内积)，记作a·b，即a·b＝，4.规定：零向量与任一向量的数量积等于.
【即学即练1】给出以下结论，其中正确结论的个数是（????）
①????②????③????④
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点02向量数量积的几何意义
1.投影向量：
在平面内任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq\o(OM1,\s\up6(→))＝.
2.几何意义：向量a与b的数量积就是向量a在向量b上的向量与向量b的。
【即学即练2】已知向量，在方向上的投影向量为，则（????）
A．4 B．8 C． D．
知识点03向量数量积的性质
1.设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的向量.则
(1)a·e＝e·a＝.
(2)a⊥b?.
(3)当a∥b时，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))
特别地，a·a＝或|a|＝.
(4)|a·b|≤.
2.平面向量数量积的运算律
（1）a·b＝(交换律).
（2）(λa)·b＝＝(数乘结合律).
（3）(a＋b)·c＝(分配律).
【即学即练3】已知向量满足，则（????）
A．2 B． C．1 D．
能力拓展
能力拓展
考法01向量夹角的计算
【典例1】已知，，则（????）
A． B． C． D．
考法02垂直关系的向量表示
【典例2】已知平行四边形ABCD满足，，，，，（????）
A．6 B．10 C．14 D．
分层提分
分层提分
题组A基础过关练
1．已知，，，则与的夹角是（????）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知等边三角形，则与的夹角为（????）
A． B． C． D．
3．在四边形中，，且，那么四边形ABCD为（????）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4．已知向量满足，则与的夹角为（????）
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．若平面向量?满足条件：?，则向量在向量的方向上的数量投影为___________.
6．已知单位向量满足，则向量的夹角为______．
7．已知在中，，，，为的中点，，交于，则_______
8．已知，是夹角为的单位向量，设．
(1)求；
(2)求的最小值．
题组B能力提升练
1．，，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（????）
A． B． C．1 D．
2．“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（????）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．平面向量与的夹角为，则（????）
A． B． C．4 D．12
4．（多选）已知非零平面向量，，，则说法正确的是（????）
A．存在唯一的实数对，使 B．若，则
C． D．若，