二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图*极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图*若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问?的变化范围是什么?(1)(2)*解*******解**内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:若积分区域为则若积分区域为则*则极坐标系情形:若积分区域为*(3)计算步骤及注意事项?画出积分域?选择坐标系?确定积分序?写出积分限?计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式充分利用对称性*第四节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量重积分的应用第九章*一、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为*任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.解:曲面的切平面方程为它与曲面的交线在xoy面上的投影为(记所围域为D)在点例1.求曲面*二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d?,(称为面积元素)则*故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即*若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且****例4计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影为则出的面积A.***第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算第12章*如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.［X－型］一、利用直角坐标系计算二重积分X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.*如果积分区域为：［Y－型］Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.*计算曲顶柱体体积设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的*同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算*且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X–型区域则若D为Y–型区域则*说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则***解*解曲面围成的立体如图.*****解积分区域如图*解积分区域如图*解原式**解****例15计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,*例16.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为**二.利用极坐标计算二重积分对应有在内取点*即*二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图*区域特征如图***