解*解:分析:直接在直角坐标系下计算很困难.由积分区域的形状和被积函数的形式,考虑在极坐标系下计算.*解*解**由夹逼原理，*解*解*解此为双纽线**0若在直角坐标系下无法计算,也可以考虑换到极坐标系.11xy*二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）小结（极点在D的边界）（极点在D的外面）（极点在D的内部）*解一：思考题*思考题解二：由于积分结果与变量的符号无关，故将r和看作直角坐标，如图所示。*练习题***练习题答案**12.2二重积分的计算*如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.［X－型］12.2.1二重积分在直角坐标系下的计算方法

*应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得先扫一条线,再扫一个面.*如果积分区域为：［Y－型］*X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.*解*解*解1)由原积分次序,用不等式组来表示积分区域2)画出积分区域图形3)交换积分次序后,积分区域的不等式表示4)交换积分次序后积分的表示*解积分区域如图*解原式*解*解曲面围成的立体如图.**使用对称性时应注意：1.积分区域关于坐标轴的对称性；2.被积函数在积分区域上关于x或y的奇偶性.利用对称性化简二重积分计算*例.oxyR-R*二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）小结［Y－型］［X－型］*解思考题*练习题****练习题答案**12.2.2二重积分在极坐标系下的计算方法*12.2.2二重积分在极坐标系下的计算方法面积元*二重积分化为二次积分的公式(1)区域特征如图极点在D的外面*区域特征如图*二重积分化为二次积分的公式(2)区域特征如图极点在D的边界*极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式(3)区域特征如图极点在D的内部*当积分区域与圆有关或被积函数含时,可以考虑在极坐标系下计算.*