11.5多元函数微分学在几何学上的应用11.5.1空间曲线的切线与法平面11.5.2空间曲面的切平面与法线*(1)式中的三个函数均可导.11.5.1空间曲线的切线与法平面1.曲线的参数方程*考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以割线的方程为*曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M点且与切线垂直的平面.*解:切线方程法平面方程例1.*空间曲线方程为法平面方程为特殊地：（以x为参数）*空间曲线方程为法平面方程为同样地：（以y为参数）*空间曲线方程为法平面方程为同样地：（以z为参数）*例2.*2.空间曲线的一般方程切线方程为法平面方程为*例3.*所求切线方程为法平面方程为*1.曲面方程为曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线11.5.2空间曲面的切平面与法线*令则切平面方程为*法线方程为曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.*2.空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令*切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在M处的切平面方程为全微分的几何意义:*其中*解:切平面方程为法线方程为例4.*解:令切平面方程法线方程例5.*解:设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得例6.*因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)*解：令故指向外侧的法向量:方向余弦为例7.*故*1.空间曲线的切线与法平面2.空间曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）（求法向量的方向余弦时注意符号）小结*思考题:解：设切点依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程*练习题**练习题答案*