故特解形式为：*故特解形式为：*故特解形式为：*故特解形式为：*故特解形式为：练习二故通解形式为：****解:特征方程为解得故所求通解为练习1*解:特征方程为解得故所求通解为练习2*注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.*特征根为故所求通解为解:特征方程为练习3*小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)*微分方程：特征方程：*解:令则特征根通解思考题求微分方程的通解.*练习题*练习题答案*B.二阶线性常系数非齐次微分方程的通解二阶线性常系数非齐次微分方程*******代入方程,整理得:**解:对应齐次方程：*比较两端同类项的系数，得代入所给方程，得解得得到一个特解为：于是，所求通解为：********练习一：写出下列方程的一个特解形式故特解形式为：即*故特解形式为：*9.4线性微分方程*例1弹簧振动问题9.4.1二阶线性微分方程(1)仅考虑弹性恢复力设有一重物铅直悬挂于弹簧下端,处于平衡状态.现将重物自平衡位置O向下拉开一段距离后突然松开，则重物在弹性力的作用下，将围绕平衡位置上下振动。设重物质量为m，振动过程中物体对平衡位置O的位移为y(t)。*由牛顿第二运动定律：——无阻尼自由振动方程——有阻尼自由振动方程（2）若在运动过程中还受到与速度v成正比的阻力由牛顿第二运动定律：即即（1）（2）*（3）若有另一周期性的外力作用于物体由牛顿第二运动定律：即——有阻尼强迫振动方程（3）*(1),(2),(3)均可归结为：(4)(4)式称为二阶线性微分方程称为齐次线性方程称为非齐次线性方程称为二阶常系数线性方程否则，称为变系数线性方程*定理1（解的存在唯一性定理）对于二阶线性微分方程若p(x),q(x),f(x)在[a,b]上连续，则对任意的初始点在[a,b]的解存在且唯一。一般地，n阶线性微分方程：*性质1（线性性质）A.二阶齐次线性方程解的结构9.4.2二阶线性微分方程解的结构*定义：是另一个的常数倍，线性相关；例如：*定理2（二阶线性齐次方程解的结构）推广：n个函数线性相关*定理3（n阶线性齐次方程解的结构）问题:如何找出方程的n个线性无关的解?**B.二阶线性非齐次微分方程解的结构性质2非齐次方程的任意两个特解之差是对应的齐次方程的解。性质3非齐次方程的一个特解与对应的齐次方程的解之和仍为非齐次方程的解。证明：*定理4二阶线性非齐次方程解的结构求二阶线性非齐次方程解的步骤：****推广n阶非齐次线性微分方程的通解构造*小结二阶齐次线性微分方程解的构造n阶齐次线性微分方程解的构造二阶非齐次线性微分方程解的构造叠加原理n阶非齐次线性微分方程解的构造*9.4.3二阶常系数线性微分方程的解法*n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式*二阶线性常系数齐次微分方程二阶常系数齐次线性方程解法--特征方程法A.二阶线性常系数齐次微分方程的通解*定义:*情形1*情形2**情形3*定义:由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.*例1.求下列方程的特解或通解***