例4.*例5.*解：所求通解为例6.用适当的变量代换解下列微分方程:*解：分离变量法得所求通解为*解：代入原式分离变量法得所求通解为解二：*小结1.齐次型方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程*解:思考题求微分方程的通解.*小结：一阶微分方程的解法可分离变量齐次型伯努里线性非齐次齐次常数变易法，公式******练习题答案*9.2.3齐次型方程的微分方程称为齐次型方程.2.解法:作变量代换代入原方程得：可分离变量的方程1.定义:**求解微分方程微分方程的解为解:例1.*例2.求解微分方程解:为齐次型*微分方程的解为*例3.*说明：*例4.*可化为齐次型的方程为齐次型方程；（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次型方程.2.解法1.*有唯一一组解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.*可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量.*解:代入原方程得方程变为例5.*分离变量得:得原方程的通解:*例6.*回代后得通解：*解:令再令两边积分后得回代后得通解：例7.求解微分方程*解:令例8.求解微分方程*令令*两边同时积分得:回代后得通解:*解代入原方程原方程的通解为利用变量代换求微分方程的解*例10.*小结齐次型方程齐次型方程的解法可化为齐次型方程的方程*思考题方程是否为齐次方程?解:方程两边同时对求导:原方程是齐次方程.*伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.9.2.4伯努利方程解法:经变量代换化为线性微分方程.*求出通解后，将代入即得代入上式：*解:例1.*例2.*用适当的变量代换求微分方程的解*说明：*9.2一阶微分方程*9.2.1可分离变量的方程形如的微分方程.解法:分离变量后两边积分为该微分方程的解.*例1求解微分方程解分离变量两端积分典型例题*通解为解最后回代即得原方程的通解。例2.*解：由题设条件衰变规律例3.*有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解：由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度例4.*设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:*即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为*解：某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量例5.*的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到*分离变量法步骤:1、分离变量;2、两端积分-------隐式通解.小结*求解微分方程解:为所求通解.思考题：*练习题**练习题答案*以上方程称为齐次的.以上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.9.2.2一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的标准形式:*齐次方程的通解为1.线性齐次方程(分离变量)一阶线性微分方程的解法:*讨论:两边积分----非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:2.一阶线性非齐次方程*把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换常数变易法:**对应齐次方程通解非齐次方程特解一阶线性非齐次微分方程的通解为:*例:求解初值问题*解:例1.*例2.*两边求导得解解此微分方程例3.如图所示，平行与轴的动直线被曲线