回代后得通解：*解:令再令两边积分后得回代后得通解：例7.求解微分方程*解:令例8.求解微分方程*令令*两边同时积分得:回代后得通解:*解代入原方程原方程的通解为利用变量代换求微分方程的解*例10.*小结齐次型方程齐次型方程的解法可化为齐次型方程的方程*思考题方程是否为齐次方程?解:方程两边同时对求导:原方程是齐次方程.*伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.9.2.4伯努利方程解法:经变量代换化为线性微分方程.*求出通解后，将代入即得代入上式：*解:例1.*例2.*用适当的变量代换求微分方程的解*说明：*例4.*例5.*解：所求通解为例6.用适当的变量代换解下列微分方程:*解：分离变量法得所求通解为*解：代入原式分离变量法得所求通解为解二：*小结1.齐次型方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程*解:思考题求微分方程的通解.*小结：一阶微分方程的解法可分离变量齐次型伯努里线性非齐次齐次常数变易法，公式****以上方程称为齐次的.以上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.9.2.2一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的标准形式:*齐次方程的通解为1.线性齐次方程(分离变量)一阶线性微分方程的解法:*讨论:两边积分----非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:2.一阶线性非齐次方程*把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换常数变易法:**对应齐次方程通解非齐次方程特解一阶线性非齐次微分方程的通解为:*例:求解初值问题*解:例1.*例2.*两边求导得解解此微分方程例3.如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.*所求曲线为*例4.*例5.有一质量为m的质点,从液面由静止状态开始垂直下降,设在沉降过程中质点所受的阻力与沉降速度v成正比,比例系数为k(k0),试求质点下沉速度v及位置x与沉降时间t的关系.**思考题求微分方程的通解.解:***练习题答案*9.2.3齐次型方程的微分方程称为齐次型方程.2.解法:作变量代换代入原方程得：可分离变量的方程1.定义:**求解微分方程微分方程的解为解:例1.*例2.求解微分方程解:为齐次型*微分方程的解为*例3.*说明：*例4.*可化为齐次型的方程为齐次型方程；（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次型方程.2.解法1.*有唯一一组解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.*可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量.*解:代入原方程得方程变为例5.*分离变量得:得原方程的通解:*例6.*第九章微分方程*9.1微分方程的基本概念9.1.1定义*例2.*例如：一阶常微分方程二阶常微分方程基本概念1.微分方程：包含未知函数及其导数(或微分)的等式。1)常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程。2)偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程。2.微分方程的阶：在一个微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数。3.微分方程的解：满足微分方程的函数。例如：*5.微分方程的特解：不含任意常数的解。通解与特解的几何意义：是积分曲线族是一条积分曲线4.微分方程的通解：解中含有独立的任意常数的个数

与方程的阶数相同。*6.初始条件：反映初始状态下的条件。定解条件初始条件（常微分方程）边界条件（偏微分方程）**定义*例3.*——根据实际问题建立方程。9.1.2微分方程的建立*例5.*解：如图所示(初值问题)即例6.曳物线*解：微分方程为：初始条件为：例7.猎狗追兔*例8.旋转容器内液面的形状盛有