第2章自动控制系统的数学模型
·2.1标准微分方程
·2.2传递函数
·2.3动态结构图
·2.4动态结构图的等效变换
·2.5梅逊公式
·2.6控制系统的典型传递函数
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2.1标准微分方程
·2.1.1建立标准微分方程的一般步骤
·(1)确定系统(或环节)的输入量和输出量。
·(2)建立初始微分方程组。根据所遵循的规律，列写出每个环节(元件)初始微分方程组。
·(3)消去中间变量，将微分方程标准化。消去微分方程组中的中间变量，将与输出量有关的各项按导数项降幂的顺序放在等号的左边，将与输入量有关的各项按导数项降幂的顺序放在等号的右边。
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2.1标准微分方程
·2.1.3标准微分方程的求解
·系统的标准微分方程建立后，就要求出微分方程的解。工程上利用拉普拉斯变换法求解线性微分方程，此法计算简便，尤其适用于高阶微分方程的求解。
·用拉普拉斯变换法求解线性微分方程的步骤如下：
·(1)将微分方程两边进行拉普拉斯变换，得到变换方程。
·(2)经过整理得到输出量的象函数。
·(3)利用部分分式法，进行拉普拉斯反变换，求出微分方程的解。
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2.2传递函数
·2.2.1传递函数的定义
·系统满足零初始条件，对控制系统的标准微分方程式(2一11)等号两端进行拉普拉斯变换后，求出输出量的象函数为
·将式(2一12)整理得
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2.2传递函数
·2.2.2传递函数的性质
·(1)传递函数是由系统微分方程在零初始条件下经过拉普拉斯变换引出的，所以传递函数只适用于线性定常系统，而不适用于非线性或时变系统。
·(2)传递函数只取决于系统本身的结构和参数，反映了系统的固有特性，与系统的输入量的大小、形式无关。
·(3)传递函数表示了系统特定的输出量与输入量之间的关系，因此对于同一个系统，不同的输出量对同一个输入量之间的传递函数是不同的。
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2.2传递函数
·(4)传递函数具有正、负号。当输入量与输出量的变化方向相同时，
对应的传递函数具有“正”号；当输入量与输出量的变化方向相反时，对应的传递函数具有“负”号，如图2一5所示。
·(5)传递函数可写成以下形式，即
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2.2传递函数
·2.2.3典型环节的传递函数
·组成自动系统的各基本环节，称为自动控制系统的典型环节。从其数学模型来分类，主要有以下几种。
·1.比例环节
·比例环节的微分方程为c(t)=Kr(t)
·比例环节的传递函数为
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·2.性环节
·惯性环节微分方程为·惯性环节传递函数为
·3.积分环节
·积分环节微分方程为·积分环节传递函数为
2.2传递函数
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·4.理想微分环节
·理想微分环节微分方程为
·一阶微分环节微分方程为
·一阶微分环节传递函数为G(s)=Ts+1
·理想微分传递函数为G(s)=Ts
·5.一阶微分环节
2.2传递函数
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2.2传递函数
·振荡环节的微分方程为·或
·振荡环节传递函数为
·或
·7.纯滞后环节
·纯滞后环节的传递函数为G(s)=e-To?
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·6.振荡环节
2.3动态结构图
·2.3.1绘制动态结构图的步骤
·(1)确定系统(或环节)的输入量与输出量，根据所遵循的规律，从输入
端开始，依次列写出系统中各元件或环节的标准微分方程组。
·(2)对标准微分方程组进行拉普拉斯变换，得到相应的变换方程组。·(3)对标准变换方程组，从输入端开始，依次绘出各元件或环节动态
结构图，并标出其输入量和输出量。
·(4)根据信号的关系，连接同名信号线，得到各元件或环节动态结构
图。
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2.3动态结构图
·2.3.3运算阻抗法绘制动态结构图
·电路中利用运算阻抗法绘制动态结构图形象、简便。·1.运算阻抗
·2.电路中的基本元件
·(1)电阻元件R
·电压与电流的关系为u=iR
·定义式为
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2.3动态结构图
·(3)电感元件L
·电压与电流的关系为
·(2)电容元件C
·电压与电流的关系为
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2.3动态结构图
·3.系统的动态结构