2025年南开大学概率论与数理统计试题详解及答案卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列哪一个选项是正确的？
A.X的分布函数F(x)是一个常数；
B.X的分布函数F(x)是单调增加的；
C.X的分布函数F(x)是单调减少的；
D.X的分布函数F(x)在任意区间内都存在间断点。
2.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则E(X^2)的值为：
A.λ；
B.λ^2；
C.λ+1；
D.2λ。
3.设随机变量X～N(μ,σ^2)，其中μ=0，σ=1，则P{0X2}的值为：
A.0.6826；
B.0.4772；
C.0.3414；
D.0.1587。
4.设随机变量X～U[a,b]，则E(X)的值为：
A.(a+b)/2；
B.(b-a)/2；
C.(a^2+b^2)/2；
D.(a^2+b^2+2ab)/2。
5.设随机变量X和Y相互独立，X～N(0,1)，Y～N(1,2)，则Cov(X,Y)的值为：
A.0；
B.1；
C.2；
D.3。
6.设随机变量X～Exp(λ)，则E(X)的值为：
A.1/λ；
B.2/λ；
C.1；
D.2。
7.设随机变量X～Binomial(n,p)，则E(X)的值为：
A.np；
B.n(1-p)；
C.np+n(1-p)；
D.n。
8.设随机变量X～Beta(α,β)，则E(X)的值为：
A.α/(α+β)；
B.β/(α+β)；
C.(α+β)/(αβ)；
D.(αβ)/(α+β)。
9.设随机变量X～Geometric(p)，则E(X)的值为：
A.1/p；
B.1/(1-p)；
C.p/(1-p)；
D.p。
10.设随机变量X和Y相互独立，X～U[a,b]，Y～U[c,d]，则P{X+Y≥1}的值为：
A.(b-a)(d-c)/(2b-1)；
B.(b-a)(d-c)/(2d-1)；
C.(b-a)(d-c)/(2a-1)；
D.(b-a)(d-c)/(2c-1)。
二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）
11.设随机变量X～Exp(λ)，则E(X)的方差D(X)为______。
12.设随机变量X和Y相互独立，X～N(μ1,σ1^2)，Y～N(μ2,σ2^2)，则D(X+Y)的值为______。
13.设随机变量X～N(0,1)，则P{|X|≤1}的值为______。
14.设随机变量X～U[a,b]，则P{aXb}的值为______。
15.设随机变量X和Y相互独立，X～Exp(λ)，Y～Exp(λ)，则P{min(X,Y)≥t}的值为______。
三、解答题（本大题共5小题，每小题20分，共100分）
16.已知随机变量X的分布律如下表所示，求X的数学期望E(X)。
|X|1|2|3|
|----|---|---|---|
|P|0.2|0.3|0.5|
17.已知随机变量X～N(μ,σ^2)，求P{X≤μ+σ}。
18.设随机变量X～U[a,b]，求X的概率密度函数f(x)。
19.已知随机变量X和Y相互独立，X～Exp(λ)，Y～Exp(λ)，求Z=X+Y的概率密度函数f(z)。
20.设随机变量X～Beta(α,β)，求X的概率密度函数f(x)。
四、计算题（本大题共2小题，每小题20分，共40分）
21.设随机变量X～N(μ,σ^2)，已知E(X)=2，D(X)=4，求P{X≤0}。
22.设随机变量X和Y相互独立，X～U[0,1]，Y～Exp(1)，求Z=X+Y的分布函数F(z)。
五、证明题（本大题共2小题，每小题20分，共40分）
23.证明：若随机变量X和Y相互独立，且X～Exp(λ)，Y～Exp(λ)，则Z=X+Y～Exp(2λ)。
24.证明：若随机变量X和Y相互独立，且X～N(μ1,σ1^2)，Y～N(μ2,σ2^2)，则Z=X+Y～N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)。
六、应用题（本大题共2小题，每小题20分，共40分）
25.某批产品的次品率为0.1，现从该批产品中随机抽取10件，求抽到2件次品的概率。
26.某班有30名学生，其中有20名男生和10名女生。现从中随机抽取3名学生，求抽到的3名学生中至少有2名女生的概率。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.B
解析：分布函数F(x)表示随机变量X小于或等于x的概率，因此它是一个单调增加的函数。
2.B
解析：泊松分布的方差等于其期望值，即D(X)=λ，所以E(X^2)=Var(X)+(E(X))^2=λ+λ^2。