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专题13几何模型之“隐圆”模型
（四边共圆、定边对直角、动点到定点定长、定弦定角）
在中考数学中有一类高频率考题几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“隐圆模型”形毕露，则答案手到擒来!
TOC\o1-1\h\u模型1.“隐圆”模型之四点共圆模型 1
模型2.“隐圆”模型之定边对直角模型 44
模型3.“隐圆”模型之动点到定点定长 67
模型4.“隐圆”模型之定角定弦模型 82
模型1.“隐圆”模型之四点共圆模型
如图1-1所示，若平面上A、B、C、D四个点满足∠ABC+∠ADC=180°，则A、B、C、D四点共圆
①四边形对角互补；②四边形外角等于内对角也可推出对角互补.
应用：当题目中出现四边形对角互补的条件时，可以考虑构造四点共圆模型，从而利用圆周角定理等性质
进行求解。
（1）如图1所示在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，则A、B、C、D四点在同一个圆上，称为四点共圆。
（2）如图3所示AB、DC的延长线相较于点P，PA×PB=PD×PC，所以A、B、C、D四点共圆。
证明：∵PA×PB=PD×PC，∴PAPC=PDPB，∵
例1．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点．连接交于点H．连接，的延长线交于点M．下列结论正确的是（???）
①②③平分④．
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】证明，得出，求出，即可判断此项正确；
②取的中点G，连接，证明四边形为平行四边形，得出，证明，，说明，证明垂直平分，即可判断此项正确；
③连接，证明B、E、H、F四点共圆，得出，，即可得出，判定此项正确；
④设，则，证明，得出，求出，，，，即可判断此项正确．
【详解】解：①∵四边形为正方形，
∴，，
∵点E，F分别是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②取的中点G，连接，如图所示：
则，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，故②正确；
③连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴B、E、H、F四点共圆，
∴，，
∴，
∴平分，故③正确；
④设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
∴，故④正确．
综上分析可知，正确的有①②③④．
故选：A．
例2．如图，矩形中，P为边上一点（不与A，D重合），连接，，过点作，垂足为，连接，，与相交于点．则下列结论错误的是（???）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，，则
D．若，，则最小为
【答案】C
【分析】利用矩形的性质结合平行线的性质，可得，证得，即可判断选项A正确；若，根据等腰三角形的性质可得，利用直角三角形的性质得，得证，即可判断选项B正确；过点作于点，根据矩形的性质得是等腰直角三角形，推出，即、、、四点共圆，通过圆周角定理得出，利用勾股定理求出、的值，通过即可判断C选项错误；通过题意可得点在以中点为圆心，为直径的圆上，当、、三点共线时，最小，利用勾股定理求出，再通过即可判断D选项正确．
【详解】解：A、四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
,
，
，，
，故A选项正确；
B、如图，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
．
在和中，
，
，
，
为等腰直角三角形，故B选项正确；
C、如图，过点作于点，
四边形是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，故C选项错误；
D、如图，
，
，
点在以中点为圆心，为直径的圆上，
，
当、、三点共线时，最小，
在中，，
，故D选项正确．
故选：C．
1．如图，四边形中，对角线，交于点，若，则下列结论中正确的是（????）
①；
②与的周长比为；
③；
④．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定及其性质，解决本题的关键是合理作辅助圆，熟练掌握相似三角的性质定理．根据相似三角形可得①②正确，由四点共圆可知③不符合题意，面积比转化成边长比可得④正确．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵相似三角形周长比等于相似比，
∴与的周长比为，故②正确；
∵，且和共有底，
∴A，B，C，D四点共圆；
若，则，则，但题目中并没有告诉这个条件，所以③不一定正确；
∵和共有高，
∴，
∵和共有高，
∴，
∴，
即，故④