10.3三角形的角平分线、中线和高线冀教版七年级下册第七章第10章三角形

学习目标1.理解三角形的中线、角平分线和高的定义；2.探索并理解三角形的高、中线和角平分线的基本特征；3.了解重心的定义．

新课导入小熊和小猫想把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个直角三角形，能做到吗？怎么折呢？

新课讲授三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线(angularbisectorofatriangle).BACD如图，在△ABC中，∠BAD＝∠CAD，则线段AD是△ABC的一条角平分线.

新课讲授连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线(medianofatriangle).如图，在△ABC中，点E在BC上，BE＝EC，则线段AE是△ABC的一条中线.BACE

新课讲授三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线(heightofatriangle),简称三角形的高.如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F，则线段AF是△ABC的一条高.BACF

新知探究1.一个三角形有几条角平分线？画一个三角形，用量角器和直尺画出它的所有角平分线.BACBACBACE

BAC新知探究2.如图，已知△ABC，请分别画出BC边上的高.BAC再画出另外两边上的高，你有什么发现？BAC

新知探究3.(1)剪下一个三角形纸片，用折纸的方法找到三边的中点，画出这个三角形的三条中线.这三条中线交于一点吗？(2)按照剪下的三角形纸片，用厚薄均匀的硬纸板裁出一个相同的三角形，画出这个三角形的三条中线.在它们的交点处钻一个小孔，通过小孔系一条线，将三角形硬纸板吊起，这时三角形硬纸板处于什么状态?

新知探究

归纳总结三角形的三条角平分线、三条中线分别相交于一点，它们都在三角形的内部.三角形的三条高所在的直线相交于一点，高及高的交点不一定在三角形的内部.

新课讲授三角形的重心：三角形的三条中线交于一点.这个交点叫作三角形的重心.

典例分析例1如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，过点C作CH⊥AD，垂足为H，延长CH交AB于点F，下面判断正确的是______.(1)AD为△ABE的角平分线；(2)BE为△ABD的边AD上的中线；(3)CH为△ACD的边AD上的高．(3)BCADG12EHF

典例分析例2如图，已知钝角三角形ABC.(1)试画出：①AB边上的高CD；②BC边上的中线AF；③△ABC的角平分线AE.DEABCF解：(1)如图所示，线段CD、AF、AE即为所求.

典例分析解：(2)相等的线段为：BF＝CF.(3)相等的角为：∠BAE＝∠EAC.(4)面积相等的三角形为：△ABF与△ACF.DEABCF例2如图，已知钝角三角形ABC.(2)找出图中相等的线段.(3)找出图中相等的角.(4)写出图中面积相等的三角形.

典例分析例3如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，AD，BE交于点F，∠C＝30°，∠BFD＝70°.求∠BAC的度数.ABCDEF解：∵AD是高，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠C＝30°，∠BFD＝70°，∴∠DAC＝180°－90°－30°＝60°，∠FBD＝180°－90°－70°＝20°.∵BE是角平分线，∴∠ABD＝2∠FBD＝2×20°＝40°，∠BAD＝180°－90°－40°＝50°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝50°＋60°＝110°.

学以致用1.如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线和高线.请指出图中相等的角及相等的线段.ABCDEF解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，∵AF是△ABC的和高，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∴图中相等的角：∠BAE＝∠CAE，∠AFB＝∠AFC；相等的线段：BD＝DC.

学以致用2.过△ABC的顶点A画出BC边上的中线、高和∠A的角平分线.ABCFDE解：如图所示，线段AF、AD、AE即为所求.

学以致用3.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，AB与AC的和为10.求AB，AC的长度.BACD解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵△ABD的周长－△ADC的周长＝2，∴(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝2，∴AB－AC＝2①，∵AB＋AC＝10②，∴①＋②得2AB＝12，解得AB＝6，②－①