2025年女子数学奥林匹克（CGMO）组合数学与数论试卷：竞赛解题技巧精讲
一、选择题（每题5分，共20分）
1.设集合A={1,2,3,4,5}，B={x∈N|x是偶数}，则集合A与集合B的交集是（）。
A.{2,4}B.{1,3,5}C.{1,2,3,4,5}D.{2,3,4,5}
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=50，S20=150，则数列{an}的公差d是（）。
A.1B.2C.3D.4
3.若一个正整数n的各位数字之和为10，则n能被3整除的充要条件是（）。
A.n能被3整除B.n的个位数是3或6
C.n的个位数是2或7D.n的个位数是4或9
4.在正三角形ABC中，AB=AC=BC=6，点D在BC上，且BD=4，则三角形ABD的面积是（）。
A.6√3B.9√3C.12√3D.18√3
5.设函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若f(1)=3，f(2)=5，f(3)=7，则a+b+c=（）。
A.15B.12C.9D.6
二、填空题（每题5分，共20分）
1.已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项an=__________。
2.若正整数n满足n^2+1是质数，则n的最大值是__________。
3.设集合A={x∈R|x^2-4x+30}，则集合A的元素个数是__________。
4.若等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则第5项an=__________。
5.在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点坐标是__________。
三、解答题（每题10分，共30分）
1.（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=50，S20=150，求该数列的首项a1和公差d。
2.（10分）已知正整数n满足n^2+1是质数，求n的最大值。
3.（10分）在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点坐标是什么？
四、证明题（每题10分，共20分）
4.（10分）证明：若正整数n满足n^2-3n+2=0，则n为偶数。
5.（10分）证明：对于任意正整数n，都有1^2+2^2+3^2+…+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)。
六、应用题（每题10分，共20分）
6.（10分）已知一个数列的前三项分别是1，2，3，且该数列的每一项都是前两项的和。求该数列的前10项和。
本次试卷答案如下：
一、选择题答案及解析：
1.A.{2,4}
解析：集合B包含所有偶数，而集合A包含1到5的所有自然数，所以它们的交集是集合B中的偶数，即{2,4}。
2.B.2
解析：由等差数列的前n项和公式Sn=n/2(2a1+(n-1)d)，代入S10=50和S20=150，解得d=2。
3.C.n的个位数是2或7
解析：一个数能被3整除，当且仅当它的各位数字之和能被3整除。由于各位数字之和为10，可能的组合是2和8，或7和3，或5和5。其中，个位数是2或7的组合满足条件。
4.B.9√3
解析：三角形ABD是直角三角形，其中AD=√(AB^2-BD^2)=√(6^2-4^2)=√(36-16)=√20=2√5。三角形ABD的面积是(1/2)*AD*BD=1/2*2√5*4=4√5=9√3。
5.D.6
解析：由函数的性质，f(1)=a+b+c，f(2)=4a+2b+c，f(3)=9a+3b+c。通过解这个线性方程组，得到a+b+c=6。
二、填空题答案及解析：
1.21
解析：等差数列的第n项公式是an=a1+(n-1)d，代入a1=3和d=2，得到第10项an=3+(10-1)*2=3+18=21。
2.7
解析：n^2+1是质数，且n^2是偶数，所以n必须是奇数。通过尝试，发现n=7时，n^2+1=50是质数。
3.2
解析：集合A的定义是x^2-4x+30，即(x-1)(x-3)0。解这个不等式，得到x1或x3，所以集合A的元素是小于1或大于3的所有实数，共有两个元素。
4.162
解析：等比数列的第n项公式是an=a1*q^(n-1)，代入a1=2和q=3，得到第5项an=2*3^(5-1)=2*3^4=2*81=162。
5.(3,2)
解析：点P(2,3)关于直线y=x的对称点坐标是(3,2)，因为交换x和y的值得到对称点。
三、解答题答案及解析：
1.a1=3，d=2
解析：使用等差数列的前n项和公式Sn=n/2(2a1+(n-1)d)，得到两个方程：S10=5/2(2*3+(